Limite con taylor
Ho un problema con questa funzione:
$f(x)=(1+(sin(2x^3))/x)^((cos(4x^2)-1)/(3x^3+1-e^(3x^3)))$
devo trovare il limite tendente a 0 e a infinito
sviluppo taylor per il sen, coseno e l'esponenziale e mi viene:
$(1+2x^2-4/3x^8)^(16/9((4/3x^4-1)/(x^2(-x^3-1))))$
applico le proprietà del logaritmo e ottengo
$e^((16/9((4/3x^4-1)/(x^2(-x^3-1))))(ln(3+6x^2-4x^8)+ln(1/3))$
mi potreste dare una mano a continuare?
svolgendo con derive il limite per x tendente a 0 trovo $e^(32/9)$
$f(x)=(1+(sin(2x^3))/x)^((cos(4x^2)-1)/(3x^3+1-e^(3x^3)))$
devo trovare il limite tendente a 0 e a infinito
sviluppo taylor per il sen, coseno e l'esponenziale e mi viene:
$(1+2x^2-4/3x^8)^(16/9((4/3x^4-1)/(x^2(-x^3-1))))$
applico le proprietà del logaritmo e ottengo
$e^((16/9((4/3x^4-1)/(x^2(-x^3-1))))(ln(3+6x^2-4x^8)+ln(1/3))$
mi potreste dare una mano a continuare?
svolgendo con derive il limite per x tendente a 0 trovo $e^(32/9)$
Risposte
Ti consiglierei di scrivere subito la funzione nella forma
$e^(((cos(4x^2)-1)/(3x^3+1-e^(3x^3)))*ln(1+(sin(2x^3))/x))$ e quindi studiare il limite
$((cos(4x^2)-1)/(3x^3+1-e^(3x^3)))*ln(1+(sin(2x^3))/x)$ dove puoi scrivere subito 2(anzi 3) relazioni di asintotico e infine sviluppare l'esponenziale.
$e^(((cos(4x^2)-1)/(3x^3+1-e^(3x^3)))*ln(1+(sin(2x^3))/x))$ e quindi studiare il limite
$((cos(4x^2)-1)/(3x^3+1-e^(3x^3)))*ln(1+(sin(2x^3))/x)$ dove puoi scrivere subito 2(anzi 3) relazioni di asintotico e infine sviluppare l'esponenziale.
[ot] strangolatore la tua firma è fantastica XD [/ot]
Comunque fantastico questa funzione, hai da sviluppare in taylor anche lo sviluppo in taylor!
Comunque fantastico questa funzione, hai da sviluppare in taylor anche lo sviluppo in taylor!
G R A N D E pater46!!!!!!!!!
TI LOVVO ABBESTIA
TI LOVVO ABBESTIA
Si, effettivamente il mio è stato un grande post...
mi date una dritta per il limite tendente a infinito? grazie!
Confronta gli infiniti dei rapporti, non è una forma indeterminata.
ti dispiace svolgermelo? scusate ma non ci arrivo....
Partiamo con il primo: quanto fa
[tex]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin(2x^3)}{x}[/tex]?
[tex]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin(2x^3)}{x}[/tex]?
Ricorda che le funzioni goniometriche presenti sono limitate... E per come è strutturata la funzione non è importante il fatto che non esistono i limiti a $+oo$.
Ricorda anche che il denominatore dell'esponente tende a $ + oo $ mentre il numeratore è limitato. Stesso discorso anche per la frazione nella base.
Ricorda anche che il denominatore dell'esponente tende a $ + oo $ mentre il numeratore è limitato. Stesso discorso anche per la frazione nella base.
de! grazie ragazzi forse ci sono arrivato...
la frazione della base tende a zero , l'esponente tende a 0, quindi il limite tende a 1
Se è così vi ringrazio infinitamente!
la frazione della base tende a zero , l'esponente tende a 0, quindi il limite tende a 1
Se è così vi ringrazio infinitamente!
Si, tende a 1
Ragazzi, io ho provato a svolgere quel limite in un altro modo, mi aiutate a capire dove sbaglio?
Io ho applicato le stime asintotiche in modo tale da far risultare , per $x\to 0$, $\sin(2x^3) \approx 2x^3$, $\cos(4x^2)-1 \approx -4x^4$, $1-e^{3x^3} \approx -3x^3$, ma sostituendo mi viene poi
$\lim_{x \to 0} (1+2x^2)^{\frac{-4x^4}{3x^3-3x^3}}$ ma a questo punto ho un dubbio: il denominatore dell'esponente come lo devo considerare? Sembra che venga uno zero tondo però non saprei.. In quel caso avrei una forma $1^{+\infty}$, che non va bene, altrimenti potrebbe uscire $1^0$ che però so essere sbagliato!
Spiegazioni? Ho oltrepassato i limiti delle stime asintotiche?
Io ho applicato le stime asintotiche in modo tale da far risultare , per $x\to 0$, $\sin(2x^3) \approx 2x^3$, $\cos(4x^2)-1 \approx -4x^4$, $1-e^{3x^3} \approx -3x^3$, ma sostituendo mi viene poi
$\lim_{x \to 0} (1+2x^2)^{\frac{-4x^4}{3x^3-3x^3}}$ ma a questo punto ho un dubbio: il denominatore dell'esponente come lo devo considerare? Sembra che venga uno zero tondo però non saprei.. In quel caso avrei una forma $1^{+\infty}$, che non va bene, altrimenti potrebbe uscire $1^0$ che però so essere sbagliato!
Spiegazioni? Ho oltrepassato i limiti delle stime asintotiche?
Aspetta, le equivalenze asintotiche le puoi utilizzare solo per x tendente ad un valore finito!
Infatti, questo è il limite per $x$ tendente a zero!
Wow, non mi ero accorto della forma indeterminata. Tuttavia, se lo porti nella forma $ f(x) ^ g(x) \to e^ ( g(x) ln f(x) ) $, ed approssimi
$ln ( 1 + 2x^2 ) \approx 2x^2 $ ( Vedi sviluppo in di $ln(1+x)$ )
Ottieni $ e^2 $. Sono arrivato a questo risultato dopo un bel pò di tentativi, è anche un pò tardi quindi mi scuso in anticipo per eventuali errori!
PS: non ho potuto provare con derive perchè dandogli da calcolare tale limite mi stava per esplodere il pc
$ln ( 1 + 2x^2 ) \approx 2x^2 $ ( Vedi sviluppo in di $ln(1+x)$ )
Ottieni $ e^2 $. Sono arrivato a questo risultato dopo un bel pò di tentativi, è anche un pò tardi quindi mi scuso in anticipo per eventuali errori!
PS: non ho potuto provare con derive perchè dandogli da calcolare tale limite mi stava per esplodere il pc
Scusate ho un dubbio:
Quando per $x\to 0$ si sostituiscono gli infinitesimi attraverso lo sviluppo di Taylor, come si fa a capire a quale infinitesimo arrestarsi?
Per esempio, nella funzione ad esponente, ovvero $\frac{\cos (4x^2)-1}{3x^3+1-e^{3x^3}}$ sostituiamo al posto di $\cos (4x^2)-1$ la quantità $-2x^4$, ma non potevamo continuare lo sviluppo e sostituire $-2x^4+\frac{4x^8}{24}$?
E così anche per quanto riguarda $(1-e^{3x^3})$ perchè ci siamo fermati al $-3x^3$ ? Non potevamo continuare e sostituire $-3x^3-3/2x^6$ ?
Quando per $x\to 0$ si sostituiscono gli infinitesimi attraverso lo sviluppo di Taylor, come si fa a capire a quale infinitesimo arrestarsi?
Per esempio, nella funzione ad esponente, ovvero $\frac{\cos (4x^2)-1}{3x^3+1-e^{3x^3}}$ sostituiamo al posto di $\cos (4x^2)-1$ la quantità $-2x^4$, ma non potevamo continuare lo sviluppo e sostituire $-2x^4+\frac{4x^8}{24}$?
E così anche per quanto riguarda $(1-e^{3x^3})$ perchè ci siamo fermati al $-3x^3$ ? Non potevamo continuare e sostituire $-3x^3-3/2x^6$ ?
Capisci a quale infinitesimo arrestarti quando al denominatore hai un polinomio di grado comparabile a quello del numeratore, tutti gli altri sono infinitesimi di ordine inferiore, che non influenzano il comportamento del limite.
Per esempio, nell'esponente come hai detto bene bisogna sviluppare ancora un'altro termine, perchè altrimenti verrebbe uno 0 netto al denominatore.
Al numeratore invece, sviluppare ancora non sortisce alcun effetto, in quanto hai già un termine di quarto grado, più forte rispetto a quello di grado ottavo, che è quindi trascurabile.
Per esempio, nell'esponente come hai detto bene bisogna sviluppare ancora un'altro termine, perchè altrimenti verrebbe uno 0 netto al denominatore.
Al numeratore invece, sviluppare ancora non sortisce alcun effetto, in quanto hai già un termine di quarto grado, più forte rispetto a quello di grado ottavo, che è quindi trascurabile.
Allora è normale che mi venga
$\frac{\cos (4x^2)-1}{3x^3+1-e^{3x^3}}\to +\infty$ se $x\to 0$ ?
$\frac{\cos (4x^2)-1}{3x^3+1-e^{3x^3}}\to +\infty$ se $x\to 0$ ?
Si, ti dovrebbe tendere a $ + oo $ come $ 1/x^2 $. Almeno questo è il risultato che ho ottenuto io
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo