Limite con Taylor

[gygabyte017]

Non mi viene questo limite, ho provato in tanti modi ma non riesco a risolverlo...

$lim_(x->0)(1/(x^3) - 1/(sin^3x))*tgx$

In particolare ho scritto $tgx=sinx/(cosx)$ e ho messo in evidenza il coseno tanto va a uno... Per lo sviluppo del seno mi sono fermato a $sinx = x - x^3/6 + o(x^4)$ però ad esempio non so fare il cubo di questo trinomio....

Un aiutino?

Grazie!

[gygabyte017]

Rettifico, dovrei esserci riuscito. Però non ho ancora dimestichezza con gli "o-piccoli". Mi potreste controllare se tutti i passaggi sono corretti o se ci sono imprecisioni?

$lim_(x->0)(1/(x^3) - 1/(sin^3x))tgx = lim_(x->0)((sin^3x - x^3)/(x^3sin^3x))*sinx/(cosx)=lim_(x->0)1/(cosx)((sin^3x - x^3)/(x^3sin^2x))$

Ora, $lim_(x->0)1/(cosx) = 1$

Quindi, $=lim_(x->0)((sinx-x)(sin^2x +xsinx + x^2))/(x^3sin^2x)$

Usando lo sviluppo $sinx=x-x^3/6 + o(x^4)$:

$=lim_(x->0) ((x-x^3/6+o(x^4)-x)(x^2 - x^4/3 + o(x^5) + x(x-x^3/6 + o(x^4)) + x ^2)) / (x^3(x^2 - x^4/3 + o(x^5))) =$
$=lim_(x->0) ((-x^3/6+o(x^4))(3x^2 -1/2x^4 + o(x^5)))/ (x^5(1 - x^2/3 + (o(x^5))/x^2) )=$
$=lim_(x->0) (-1/2x^5 + o(x^5))/(x^5(1 + o(x)))=$
$=lim_(x->0) (-1/2 + (o(x^5))/x^5)/(1 + o(x)) = -1/2$


Grazie di nuovo! In particolare non sono sicuro delle operazioni fatte con gli "o-piccoli", cioè quando ho scritto $o(x^5)$, quando ho scritto $o(x)$ ecc, non so se è tutto corretto...

[dissonance]

mi pare giusto.

EDIT: $o(x^5)=xo(x^4)$ e $x^2=o(x)$ è giusto.

[gygabyte017]

Benissimo allora...

Grazie!