Limite con taylor
ho da poco imparato ad usare taylor per il calcolo dei limiti di alcune funzioni... ho ancora dei dubbi però soprattutto per quanto riguarda lo studio dei limiti tendenti all'infinito...
ad esempio questo limite :
lim x --> infinito xlog(1+(1/x))
che è uguale ad 1 facendo col procedimento normale...
ho provato per esercizio a farlo con Taylor, ma non ho capito bene come fare a studiarlo all'infinito...non avrei problemi, penso, se dovessi studiarlo nel punto x=0, ma con il fatto che c'è infinito non riesco a capire come fare... mi mostrate i passaggi per favore ?
ad esempio questo limite :
lim x --> infinito xlog(1+(1/x))
che è uguale ad 1 facendo col procedimento normale...
ho provato per esercizio a farlo con Taylor, ma non ho capito bene come fare a studiarlo all'infinito...non avrei problemi, penso, se dovessi studiarlo nel punto x=0, ma con il fatto che c'è infinito non riesco a capire come fare... mi mostrate i passaggi per favore ?
Risposte
Secondo me e' sufficiente porre t=1/x e studiare
la funzione trasformata per t-->0.
Si ha:
f(t)=ln(1+t)/t
Sviluppando f(t) in serie di Taylor di punto
iniziale t=0 (serie di Mc-Laurin) si ha
fermandosi al 7° termine:
f(t)=t^6/7-t^5/6+t^4/5-t^3/4+t^2/3-t^1/2+t^0/1+ò(t)
Da qui si vede agevolmente che :
lim f(t)=1
t-->0
Per lo sviluppo mi sono avvalso di Derive ma tu
puoi farlo a mano per esercizio, magari con un numero
piu' piccolo di termini ,dato che i calcoli sono
laboriosi.
karl.
la funzione trasformata per t-->0.
Si ha:
f(t)=ln(1+t)/t
Sviluppando f(t) in serie di Taylor di punto
iniziale t=0 (serie di Mc-Laurin) si ha
fermandosi al 7° termine:
f(t)=t^6/7-t^5/6+t^4/5-t^3/4+t^2/3-t^1/2+t^0/1+ò(t)
Da qui si vede agevolmente che :
lim f(t)=1
t-->0
Per lo sviluppo mi sono avvalso di Derive ma tu
puoi farlo a mano per esercizio, magari con un numero
piu' piccolo di termini ,dato che i calcoli sono
laboriosi.
karl.
grazie Karl ! ora ho capito...
cmq senti mi spiegheresti anke come si fa a capire di che grado è l'o piccolo...e come si fa a trovarlo di preciso ?
cmq senti mi spiegheresti anke come si fa a capire di che grado è l'o piccolo...e come si fa a trovarlo di preciso ?
L'o piccolo non ha una vera e propria rappresentazione
analitica ma piuttosto sta ad indicare come la funzione
f(t) si comporta ,per t piccolo ,dopo un certo termine
dello sviluppo. Nel nostro caso,poiche' ci siamo fermati
al settimo termine,l'o piccolo rappresenta tutti i termini
infinitesimi di ordine >7 rispetto a t (piccolo).
Quindi l'o piccolo non ha un grado predefinito e non
puo' essere determinato a priori:tutto dipende dalla
questione che si sta trattando e dal grado di precisione
da essa richiesto.
Saluti da karl.
analitica ma piuttosto sta ad indicare come la funzione
f(t) si comporta ,per t piccolo ,dopo un certo termine
dello sviluppo. Nel nostro caso,poiche' ci siamo fermati
al settimo termine,l'o piccolo rappresenta tutti i termini
infinitesimi di ordine >7 rispetto a t (piccolo).
Quindi l'o piccolo non ha un grado predefinito e non
puo' essere determinato a priori:tutto dipende dalla
questione che si sta trattando e dal grado di precisione
da essa richiesto.
Saluti da karl.
ha ok grazie per la spiegazione, pensavo fosse una cosa "fissa"...
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