Limite con Taylor

[lucads1]

Salve. Ho risolto il seguente limite attraverso le equivalenze asintotiche e De L'Hopital, senza gli sviluppi di Taylor. Vorrei sapere se c'è un modo per farlo mediante tali sviluppi:

$ lim_(x -> 0+) ln(1-cos(2x))/ln(tg(2x)) $

$ 1-cos(2x) ~ 2x^2 , x->0+ $

$ tg(2x) ~ 2x, x->0+ $

$ lim_(x -> 0+) ln(1-cos(2x))/ln(tg(2x)) = lim_(x -> 0+) ln(2x^2)/ln(2x) = lim_(x -> 0+) ((4x)/(2x^2))/(2/(2x)) = 2 $

[pilloeffe]

Ciao lucads,

Con lo sviluppo del logaritmo mi pare poco agevole perché l'argomento dei logaritmi tende a $0$ e non a $1$ come servirebbe per poter fare uso del relativo sviluppo in serie, ma farei uso delle formule parametriche:

$ \lim_(x \to 0^+) ln(1-cos(2x))/ln(tan(2x)) = \lim_(x \to 0^+) ln(1-\frac{1 - tan^2 x}{1 + tan^2 x})/ln(\frac{2 tan x}{1 - tan^2 x}) = \lim_(x \to 0^+) ln(\frac{2 tan^2 x}{1 + tan^2 x})/ln(\frac{2 tan x}{1 - tan^2 x}) = $
$ = \lim_(x \to 0^+) (2 ln(tan x) + ln2 - ln(1 + tan^2 x))/(ln(tan x) + ln2 - ln(1 - tan^2 x)) = 2 $