Limite con Taylor
Salve. Devo calcolare il seguente limite usando lo sviluppo di Taylor:
$ lim_(x -> 0) ((e^(cosx) - e^(sin(x)/x))/x^2) $
Utilizzando i limiti notevoli ho ottenuto il risultato corretto di $ -e/3 $ ma utilizzando Taylor mi viene fuori un valore inesatto.
Dove sbaglio?
$ cosx= 1-x^2/2+o(x^2) $
$ e^t=1+t+t^2/2+o(t^2) $
$ e^cosx=1+(1-x^2/2+o(x^2))+1/2(1-x^2/2+o(x^2))^2+o((1-x^2/2+o(x^2))^2) $= $ 5/2-x^2/2-x^2/2+o(x^2)=5/2-x^2+o(x^2)$
$ sinx=x-x^3/(3!)+o(x^3) $
$ sinx/x=1-x^2/(3!)+o(x^2) $
$ e^(sinx/x)=1+(1-x^2/(3!)+o(x^2))+1/2(1-x^2/(3!)+o(x^2))^2+o((1-x^2/(3!)+o(x^2))^2)= $ $ 5/2-x^2/6-x^2/6+o(x^2)=5/2-x^2/3+o(x^2) $
$ e^cosx-e^(sinx/x)=5/2-x^2+o(x^2)-5/2+x^2/3+o(x^2)=-2/3x^2+o(x^2)~ -2/3x^2 $
$ lim_(x -> 0)(e^cosx-e^(sinx/x))/x^2=lim_(x -> 0) (-2/3x^2)/x^2=-2/3 $
$ lim_(x -> 0) ((e^(cosx) - e^(sin(x)/x))/x^2) $
Utilizzando i limiti notevoli ho ottenuto il risultato corretto di $ -e/3 $ ma utilizzando Taylor mi viene fuori un valore inesatto.
Dove sbaglio?
$ cosx= 1-x^2/2+o(x^2) $
$ e^t=1+t+t^2/2+o(t^2) $
$ e^cosx=1+(1-x^2/2+o(x^2))+1/2(1-x^2/2+o(x^2))^2+o((1-x^2/2+o(x^2))^2) $= $ 5/2-x^2/2-x^2/2+o(x^2)=5/2-x^2+o(x^2)$
$ sinx=x-x^3/(3!)+o(x^3) $
$ sinx/x=1-x^2/(3!)+o(x^2) $
$ e^(sinx/x)=1+(1-x^2/(3!)+o(x^2))+1/2(1-x^2/(3!)+o(x^2))^2+o((1-x^2/(3!)+o(x^2))^2)= $ $ 5/2-x^2/6-x^2/6+o(x^2)=5/2-x^2/3+o(x^2) $
$ e^cosx-e^(sinx/x)=5/2-x^2+o(x^2)-5/2+x^2/3+o(x^2)=-2/3x^2+o(x^2)~ -2/3x^2 $
$ lim_(x -> 0)(e^cosx-e^(sinx/x))/x^2=lim_(x -> 0) (-2/3x^2)/x^2=-2/3 $
Risposte
Usi i polinomi di Taylor a casaccio.
Infatti né $cos x$ né $(sin x)/x$ tendono a $0$ per $x -> 0$.
Infatti né $cos x$ né $(sin x)/x$ tendono a $0$ per $x -> 0$.
Ciao lucads,
Sicuro? Ci faresti vedere come hai fatto?
Fra l'altro, per evitare ciò che giustamente ha scritto gugo82, basta fare una semplice operazione che se hai già risolto il limite coi limiti notevoli dovresti aver già fatto:
$ \lim_{x \to 0}(e^(cosx) - e^(sinx/x))/x^2 = e \cdot \lim_{x \to 0}(e^(cosx - 1) - e^(sinx/x - 1))/x^2 $
"lucads":
Utilizzando i limiti notevoli ho ottenuto il risultato corretto [...]
Sicuro? Ci faresti vedere come hai fatto?
Fra l'altro, per evitare ciò che giustamente ha scritto gugo82, basta fare una semplice operazione che se hai già risolto il limite coi limiti notevoli dovresti aver già fatto:
$ \lim_{x \to 0}(e^(cosx) - e^(sinx/x))/x^2 = e \cdot \lim_{x \to 0}(e^(cosx - 1) - e^(sinx/x - 1))/x^2 $
Ok grazie, ho capito.
In realtà ho applicato un limite notevole per poi utilizzare Taylor su una funzione diversa (immagino che non sia risolvibile soltanto con i limiti notevoli).
$ lim_(x -> 0)(e^cosx -e^(sinx/x))/x^2 = e lim_(x -> 0)(e^(cosx-sinx/x)-1)/x^2=elim_(x -> 0)(xcosx-sinx)/x^3 $
$ xcosx=x-x^3/2+o(x^3) $
$ xcosx-sinx=x-x^3/2+o(x^3)-x+x^3/6+o(x^3)=-x^3/3+o(x^3) $
$ elim_(x -> 0) (xcosx-sinx)/x^3=elim_(x -> 0)(-x^3/3)/x^3 =-e/3 $
In realtà ho applicato un limite notevole per poi utilizzare Taylor su una funzione diversa (immagino che non sia risolvibile soltanto con i limiti notevoli).
$ lim_(x -> 0)(e^cosx -e^(sinx/x))/x^2 = e lim_(x -> 0)(e^(cosx-sinx/x)-1)/x^2=elim_(x -> 0)(xcosx-sinx)/x^3 $
$ xcosx=x-x^3/2+o(x^3) $
$ xcosx-sinx=x-x^3/2+o(x^3)-x+x^3/6+o(x^3)=-x^3/3+o(x^3) $
$ elim_(x -> 0) (xcosx-sinx)/x^3=elim_(x -> 0)(-x^3/3)/x^3 =-e/3 $
"lucads":
Ok grazie
Prego.
"lucads":
ho capito
Mi sa di no: la tua soluzione è completamente errata, a cominciare dal primo passaggio...
In realtà si ha:
$\lim_{x \to 0}(e^(cosx) - e^(sinx/x))/x^2 = e \cdot \lim_{x \to 0}(e^(cosx - 1) - e^(sinx/x - 1))/x^2 = e \cdot \lim_{x \to 0}(e^(cosx - 1) - 1 - (e^(sinx/x - 1) - 1))/x^2 = $
$ = e \cdot [\lim_{x \to 0}(e^(cosx - 1) - 1)/x^2 - \lim_{x \to 0} (e^(sinx/x - 1) - 1)/x^2] = $
$ = e \cdot [\lim_{x \to 0}(e^(cosx - 1) - 1)/(cosx - 1)\cdot (cosx - 1)/x^2 - \lim_{x \to 0} (e^(sinx/x - 1) - 1)/(sinx/x - 1) \cdot (sinx/x - 1)/x^2] = $
$ = e \cdot [-\lim_{x \to 0}(e^(cosx - 1) - 1)/(cosx - 1)\cdot (1 - cosx)/x^2 - \lim_{x \to 0} (e^(sinx/x - 1) - 1)/(sinx/x - 1) \cdot (sinx - x)/x^3] = $
$ = e \cdot [- 1 \cdot 1/2 - 1 \cdot (- 1/6)] = e \cdot [- 1/2 + 1/6] = - e/3 $
Il motivo per il quale $lim_{x \to 0} (sinx - x)/x^3 = -1/6 $ lo puoi vedere ad esempio da qui, se proprio non vuoi fare uso degli sviluppi in serie...
Grazie della risposta ma non ho capito qual è l'errore: non posso raccogliere al numeratore il termine $ e^(sinx/x) $ ?
L'errore è quello piuttosto comune del "passaggio al limite a rate" e non in un'unica soluzione: puoi certamente fare il raccoglimento che hai citato, ma rimane $e^{sinx/x} $, non diventa $e$, se no significa che sei passato al limite per il primo fattore del prodotto e non per il secondo, cosa che non è corretta. Hai ripetuto l'errore nel secondo passaggio, dove sei passato al limite per l'esponenziale e non per il fattore successivo. Poi ti è andata bene ed il risultato è quello, ma se risolvessi un limite di una prova scritta col procedimento che hai riportato il docente te lo considererebbe errato. Se l'avessi fatto io nella prova scritta di Analisi matematica I, il docente mi avrebbe massacrato e successivamente avrebbe infierito anche all'orale...
Scusa se continuo a chiederti chiarimenti ma approfitto della tua disponibilità. Non posso applicare la proprietà relativa al limite di un prodotto che è uguale al prodotto dei limiti?
"lucads":
Non posso applicare la proprietà relativa al limite di un prodotto che è uguale al prodotto dei limiti?
Quali sono le ipotesi per la validità di questa regola che hai citato?
Dai un'occhiata ad esempio qui, tanto per rimanere sul sito...
Non vale se si ha la forma indeterminata $ 0 \cdot (+- oo ) $ ma in questo caso non si verifica questa condizione.
E che ne sai che non è il caso, nel bel mezzo del calcolo?
Preveggenza?
Preveggenza?
Scusa lucads, ma che razza di risposta è?
Chi è intervenuto in questa discussione ti ha spiegato che il tuo procedimento è errato ed anche il motivo, oltre a mostrarti qual è quello corretto... Poi naturalmente fai come credi. Quando però sosterrai l'esame di Analisi matematica ed il tuo professore ti segnerà come errato il tuo procedimento, perché ti assicuro che lo farà, non venire poi qui sul forum a lamentarti dei professoroni di matematica cattivoni eh...
Chi è intervenuto in questa discussione ti ha spiegato che il tuo procedimento è errato ed anche il motivo, oltre a mostrarti qual è quello corretto... Poi naturalmente fai come credi. Quando però sosterrai l'esame di Analisi matematica ed il tuo professore ti segnerà come errato il tuo procedimento, perché ti assicuro che lo farà, non venire poi qui sul forum a lamentarti dei professoroni di matematica cattivoni eh...
Ho semplicemente risposto a Gugo82 che ha tirato in ballo la preveggenza. Tra l'altro penso che un amministratore/moderatore di forum dovrebbe lui in primis mantenere la discussione su toni pacati e sereni, limitandosi a rispondere ai quesiti posti, evitando uscite fuori luogo. Come si evince rileggendo i miei messaggi, ho esclusivamente esternato i miei dubbi e ciò che mi sembrava giusto (indipendentemente dal fatto che lo fosse) senza aggiungere commenti di altra natura. L'esame di analisi probabilmente non lo sosterrò mai in quanto lavoro in ospedale come medico e mi diletto nella materia solo per hobby. Infine ringrazio per le risposte che mi stanno aiutando a comprendere meglio certi concetti un po' ostici per noi non addetti ai lavori.
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