Limite con Taylor
$ lim_(x -> 0)(x *x^(ln(1+x)+tan(x)))/(sin(3x)+x) $
pensavo di utilizzare lo sviluppo di Taylor:
$ ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) $
$ tan(x)= x+o(x^2)$
$sin(3x) = 3x+0(x^2)$
$ lim_(x -> 0) (x*x^(x+(o(x)))+x+(o(x)))/(4x+(o(x)))=lim_(x -> 0) (x^(2x)+x+(o(x)))/((4x)+(o(x)))=lim(x -> 0)(2x^(2x))/(4x)=1/2 $
è corretto nell'ultimo passaggio semplificare la x a numeratore e denominatore ed ottenere 1^(2x)=1 per x tendente a zero?
se svolgo l'esercizio con i limiti notevoli ottengo:
$ lim_(x -> 0) (x*x^(ln(1+x)))/(3x)+tan(x)/x*(3x)/(sin3x)=lim_(x -> 0) (x*x^(ln(1+x)))/(3x)+1 $
come vado avanti?
Grazie !
pensavo di utilizzare lo sviluppo di Taylor:
$ ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) $
$ tan(x)= x+o(x^2)$
$sin(3x) = 3x+0(x^2)$
$ lim_(x -> 0) (x*x^(x+(o(x)))+x+(o(x)))/(4x+(o(x)))=lim_(x -> 0) (x^(2x)+x+(o(x)))/((4x)+(o(x)))=lim(x -> 0)(2x^(2x))/(4x)=1/2 $
è corretto nell'ultimo passaggio semplificare la x a numeratore e denominatore ed ottenere 1^(2x)=1 per x tendente a zero?
se svolgo l'esercizio con i limiti notevoli ottengo:
$ lim_(x -> 0) (x*x^(ln(1+x)))/(3x)+tan(x)/x*(3x)/(sin3x)=lim_(x -> 0) (x*x^(ln(1+x)))/(3x)+1 $
come vado avanti?
Grazie !
Risposte
ciao arnett,
$ lim_(x -> 0) (x^(2x)+(x+o(x)))/(4x+o(x))= $
ecco da qui non so come procedere
Grazie!
$ lim_(x -> 0) (x^(2x)+(x+o(x)))/(4x+o(x))= $
ecco da qui non so come procedere
Grazie!
Sì ti confermo che il testo e quello che hai scritto
Ciao cri98,
Decisamente no...
Se proprio vuoi usare i limiti notevoli, cosa che si può fare tranquillamente, farei così:
$ \lim_{x \to 0^+}(x\cdot x^(ln(1+x)+tan(x)))/(sin(3x)+x) = \lim_{x \to 0^+}(x^(ln(1+x)+tan(x)))/(3 sin(3x)/(3x)+1) = \lim_{x \to 0^+}(e^{[ln(1+x)+tan(x)]\cdot ln x})/(3 sin(3x)/(3x)+1) = \lim_{x \to 0^+}(e^{[ln(1+x)/x+tan(x)/x]\cdot (x ln x)})/(3 sin(3x)/(3x)+1) = $
$ = e^{[1 + 1] \cdot (0)}/(3 + 1) = 1/4 $
"cri98":
se svolgo l'esercizio con i limiti notevoli ottengo: [...]
Decisamente no...
Se proprio vuoi usare i limiti notevoli, cosa che si può fare tranquillamente, farei così:
$ \lim_{x \to 0^+}(x\cdot x^(ln(1+x)+tan(x)))/(sin(3x)+x) = \lim_{x \to 0^+}(x^(ln(1+x)+tan(x)))/(3 sin(3x)/(3x)+1) = \lim_{x \to 0^+}(e^{[ln(1+x)+tan(x)]\cdot ln x})/(3 sin(3x)/(3x)+1) = \lim_{x \to 0^+}(e^{[ln(1+x)/x+tan(x)/x]\cdot (x ln x)})/(3 sin(3x)/(3x)+1) = $
$ = e^{[1 + 1] \cdot (0)}/(3 + 1) = 1/4 $
no ragazzi ora che ho guardato meglio il limite era il seguente:
$ \lim_{x \to 0^+}(x\cdot x^(ln(1+x))+tan(x))/(sin(3x)+x) = $
scusate ragazzi ma l'ho guardato dallo smartphone è non me ne ero accorto
Grazie!
$ \lim_{x \to 0^+}(x\cdot x^(ln(1+x))+tan(x))/(sin(3x)+x) = $
scusate ragazzi ma l'ho guardato dallo smartphone è non me ne ero accorto
Grazie!
ciao arnett,
si lo so che lo avevi chiesto però non me ne sono accorto
io i calcoli li ho svolti facendo riferimento all'ultimo limite scritto.
si lo so che lo avevi chiesto però non me ne sono accorto
io i calcoli li ho svolti facendo riferimento all'ultimo limite scritto.
Così è anche più facile, benché il risultato sia diverso:
$\lim_{x \to 0^+} (x\cdot x^(ln(1+x))+tan(x))/(sin(3x)+x) = \lim_{x \to 0^+}(x^(ln(1+x))+tan(x)/x)/(3 sin(3x)/(3x)+1) = \lim_{x \to 0^+}(e^(ln(1+x)/x \cdot (x ln x))+tan(x)/x)/(3 sin(3x)/(3x)+1) = (1 + 1)/(3 + 1) = 1/2 $
$\lim_{x \to 0^+} (x\cdot x^(ln(1+x))+tan(x))/(sin(3x)+x) = \lim_{x \to 0^+}(x^(ln(1+x))+tan(x)/x)/(3 sin(3x)/(3x)+1) = \lim_{x \to 0^+}(e^(ln(1+x)/x \cdot (x ln x))+tan(x)/x)/(3 sin(3x)/(3x)+1) = (1 + 1)/(3 + 1) = 1/2 $
ciao pilloeffe,
grazie per la risposta
una cosa che non mi è chiara nello svolgimento è:
come fai ad eliminare la( x ) al numeratore?$ \lim_{x \to 0^+} (x\cdot x^(ln(1+x))+tan(x))/(sin(3x)+x) = \lim_{x \to 0^+}(x^(ln(1+x))+tan(x)/x)/(3 sin(3x)/(3x)+1) $
Grazie
grazie per la risposta
una cosa che non mi è chiara nello svolgimento è:
come fai ad eliminare la( x ) al numeratore?$ \lim_{x \to 0^+} (x\cdot x^(ln(1+x))+tan(x))/(sin(3x)+x) = \lim_{x \to 0^+}(x^(ln(1+x))+tan(x)/x)/(3 sin(3x)/(3x)+1) $
Grazie
"cri98":
grazie per la risposta
Prego!
"cri98":
come fai ad eliminare la( x ) al numeratore?
L'ho raccolta a numeratore e a denominatore e poi l'ho semplificata...
perfetto fino a qui ci sono,
l'ultima cosa che non mi è chiara
$ =x^(ln(1+x))=e^(ln(1+x)/x \cdot (x ln x))$
non capisco perché viene moltiplicato$ (xlnx)$
Grazie
l'ultima cosa che non mi è chiara
$ =x^(ln(1+x))=e^(ln(1+x)/x \cdot (x ln x))$
non capisco perché viene moltiplicato$ (xlnx)$
Grazie
"cri98":
non capisco perché viene moltiplicato $(xlnx)$
Beh, l'ho scritto in quella forma perché è ben noto che si ha:
$\lim_{x \to 0} (ln(1 + x))/x = 1 $
$ \lim_{x \to 0} x ln x = 0 $
ok,
grazie
grazie
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