Limite con taylor

[Roxy981]

Salve, non riesco a risolvere questo limite:
$(root(5)(1+10X)-ln(1+2x)-cos(3x^2))/(2x^3+sqrt(xtan x) sin x)$ sara sicuramente risolvibille con gli sviluppi di taylor ma mi crea problemi quella tangente sotto radice

[Camillo]

$x $ a cosa tende ? forse cerchi $lim_(x rarr 0) ( f(x) ) $ ?

[Roxy981]

Si scusami

[pilloeffe]

Ciao Roxy98,

D'accordissimo con Camillo, la cui domanda è quanto mai opportuna...
Infatti posto

$ f(x) := (root(5)(1+10x)-ln(1+2x)-cos(3x^2))/(2x^3+sqrt(xtan x) sin x) $

si ha:
1) $ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 6 $
2) $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = - 6 $
3) Non esiste $ \lim_{x \to 0} f(x) $

Ad ogni modo inizierei aggiungendo e togliendo $1 $ a numeratore e raccogliendo $x^2 $ a denominatore:

$ \lim_{x \to 0^+} (root(5)(1+10x)-ln(1+2x)-cos(3x^2))/(2x^3+sqrt(xtan x) sin x) = lim_{x \to 0^+} (root(5)(1+10x) - 1-ln(1+2x) + 1-cos(3x^2))/(x^2(2x + sqrt(tan x/x) sin x/x) $

[Roxy981]

"pilloeffe":Ciao Roxy98,

D'accordissimo con Camillo, la cui domanda è quanto mai opportuna...
Infatti posto

$ f(x) := (root(5)(1+10x)-ln(1+2x)-cos(3x^2))/(2x^3+sqrt(xtan x) sin x) $

si ha:
1) $ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 6 $
2) $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = - 6 $
3) Non esiste $ \lim_{x \to 0} f(x) $

Ad ogni modo inizierei aggiungendo e togliendo $1 $ a numeratore e raccogliendo $x^2 $ a denominatore:

$ \lim_{x \to 0^+} (root(5)(1+10x)-ln(1+2x)-cos(3x^2))/(2x^3+sqrt(xtan x) sin x) = lim_{x \to 0^+} (root(5)(1+10x) - 1-ln(1+2x) + 1-cos(3x^2))/(x^2(2x + sqrt(tan x/x) sin x/x) $

Grazie per la risposta,ma il risultato è appunto -6 e il limite tende a 0 quindi c'è evidentemente un problema

[pilloeffe]

Nessun problema, salvo forse un errore di stampa...
Infatti per completezza si ha:

$ \lim_{x \to 0^{\pm}} (root(5)(1+10x)-ln(1+2x)-cos(3x^2))/(2x^3+sqrt(xtan x) sin x) = lim_{x \to 0^{\pm}} (root(5)(1+10x) - 1-ln(1+2x) + 1-cos(3x^2))/(x^2(2x \pm sqrt(tan x/x) sin x/x) $

ove si intende che nel $\pm $ davanti alla radice quadrata vale il $+$ se $x \to 0^+ $ mentre vale il $ - $ se $x \to 0^- $
Prova ad andare avanti con gli sviluppi in serie dai due passaggi che ti ho scritto nel post precedente...

[Roxy981]

"pilloeffe":Nessun problema, salvo forse un errore di stampa...
Infatti per completezza si ha:

$ \lim_{x \to 0^{\pm}} (root(5)(1+10x)-ln(1+2x)-cos(3x^2))/(2x^3+sqrt(xtan x) sin x) = lim_{x \to 0^{\pm}} (root(5)(1+10x) - 1-ln(1+2x) + 1-cos(3x^2))/(x^2(2x \pm sqrt(tan x/x) sin x/x) $

ove si intende che nel $\pm $ davanti alla radice quadrata vale il $+$ se $x \to 0^+ $ mentre vale il $ - $ se $x \to 0^- $
Prova ad andare avanti con gli sviluppi in serie dai due passaggi che ti ho scritto nel post precedente...

Grazie nuovamente per la risposta,ma questo esercizio faceva parte di una prova di esame ed il prof. come risultato ha dato -6 l'errore sarà quindi il suo?

[pilloeffe]

"Roxy98":Grazie nuovamente per la risposta

Prego.

"Roxy98":ma questo esercizio faceva parte di una prova di esame ed il prof. come risultato ha dato -6 l'errore sarà quindi il suo?

Eh, mica è impossibile, sono esseri umani anche loro...
O forse semplicemente voleva vedere se qualcuno se ne accorgeva per il 30 e lode...
Infatti, trascurando gli $o$ si ha:

$ \lim_{x \to 0^{\pm}} (root(5)(1+10x)-ln(1+2x)-cos(3x^2))/(2x^3+sqrt(xtan x) sin x) = \lim_{x \to 0^{\pm}} (root(5)(1+10x) - 1-ln(1+2x) + 1-cos(3x^2))/(x^2(2x \pm sqrt(tan x/x) sin x/x)) = $
$ = \lim_{x \to 0^{\pm}} (2x - 8x^2 - (2x - 2x^2))/(x^2(2x \pm sqrt(tan x/x) sin x/x)) = \lim_{x \to 0^{\pm}} (- 6x^2)/(x^2(2x \pm sqrt(tan x/x) sin x/x)) = $

[tex]= \lim_{x \to 0^{\pm}} \frac{-6}{2x \pm \sqrt{\frac{\tan x}{x}} \frac{\sin x}{x}} = \mp \,6[/tex]