Limite con Taylor
Ciao a tutti, devo risolvere il seguente limite:
$ lim_(x->0) (cos(pi/2e^x))/(log(1+sqrt(x))tan(sqrtx) $
Sotto mi trovo con lo sviluppo di Taylor, ma sopra non mi trovo quello che dovrebbe uscire, cioé $ -pi/2x $. Cosa sbaglio?
$ lim_(x->0) (cos(pi/2e^x))/(log(1+sqrt(x))tan(sqrtx) $
Sotto mi trovo con lo sviluppo di Taylor, ma sopra non mi trovo quello che dovrebbe uscire, cioé $ -pi/2x $. Cosa sbaglio?
Risposte
Ciao floyd123,
Innanzitutto il risultato del limite, che è $ - \pi/2 $...
Non è neanche necessario fare uso degli sviluppi di Taylor:
$ lim_{x \to 0^+}(cos(pi/2 e^x))/(log(1+sqrt{x})tan(sqrt(x))) = lim_{x \to 0^+} frac{cos(pi/2 e^x)}{x} \cdot frac{sqrt{x}}{log(1+sqrt{x})} \cdot frac{sqrt{x}}{tan(sqrt(x))} $
Quindi il risultato del limite, se esiste, è il medesimo del $lim_{x \to 0^+} frac{cos(pi/2 e^x)}{x} $, dato che gli altri due rapporti tendono a $1 $ per $x \to 0^+ $, e si ha:
$ lim_{x \to 0^+} frac{cos(pi/2 e^x)}{x} \overset{H} = lim_{x \to 0^+} [- sin(pi/2 e^x) \cdot (pi/2 e^x)] = - \pi/2 $
"floyd123":
Cosa sbaglio?
Innanzitutto il risultato del limite, che è $ - \pi/2 $...
Non è neanche necessario fare uso degli sviluppi di Taylor:
$ lim_{x \to 0^+}(cos(pi/2 e^x))/(log(1+sqrt{x})tan(sqrt(x))) = lim_{x \to 0^+} frac{cos(pi/2 e^x)}{x} \cdot frac{sqrt{x}}{log(1+sqrt{x})} \cdot frac{sqrt{x}}{tan(sqrt(x))} $
Quindi il risultato del limite, se esiste, è il medesimo del $lim_{x \to 0^+} frac{cos(pi/2 e^x)}{x} $, dato che gli altri due rapporti tendono a $1 $ per $x \to 0^+ $, e si ha:
$ lim_{x \to 0^+} frac{cos(pi/2 e^x)}{x} \overset{H} = lim_{x \to 0^+} [- sin(pi/2 e^x) \cdot (pi/2 e^x)] = - \pi/2 $
Grazie mille! 
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