Limite con Taylor

_Daniele_
Ciao ragazzi, il limite è questo:

$ lim_(x -> 1^+) (2log(x)+sin(2-2x)(cossqrt(3x-3)))/(x-1)^2 $ . Gli argomenti delle funzioni tendono a zero, dunque posso procedere con gli sviluppi.
Ma ho una tremenda confusione in testa: il denominatore non va sviluppato, giusto?
Se invece va sviluppato, perché?

Risposte
kobeilprofeta
fai un cambio di variabile y=x-1 e poi al denominatore hai $y^2$, quindi non c'è bisogno di sviluppare

donald_zeka
Con taylor si trasformano le funzioni in polinomi, se il denominatore è già un polinomio è chiaro che non serve a niente usare taylor, perché ti restituirebbe lo stesso polinomio di partenza, se il denominatore non è un polinomio allora è ovvio che va sviluppato anche esso

_Daniele_
Vi ringrazio a tutti e due.
Io avevo pensato di sviluppare il numeratore fino al secondo ordine (mi faccio "guidare" dal denominatore).
Il cambio di variabile è una buona soluzione anche se io in principio avevo pensato di risolvere il numeratore così:

$log(x)=log(1+(x-1))$
$sin(2-2x)=sin(t)$ e poi sostituivo $2-2x$ nello sviluppo
$ cossqrt(3x-3) =cos(t)$ e poi in $t$ sostituivo lo sviluppo di $(3x-3)^(1/2)$

Giusto?

donald_zeka
Non devi farti guidare dal denominatore, devi sviluppare il numeratore e denominatore al primo ordine diverso da zero indipendentemente, in seguito confronti gli ordini del numeratore e denominatore, la particolarità di usare taylor è appunto quella del fatto che ciò che determina il limite è solo il primo ordine non nullo.
Si, il modo in cui stai procedendo va bene

_Daniele_
viewtopic.php?p=978224 questa discussione mi ha chiarito un concetto fondamentale.

Però mi sto impicciando con i calcoli:
-lo sviluppo del logaritmo mi viene così: $ x-1-((x-1)^2)/2+o((x-1)^2) $
-lo sviluppo del seno: $ 2-2x-((2-2x)^3)/6+o((2-2x)^3)$
-l'argomento del coseno: $(3(x-1)^(1/2))=3+(3(x-1))/2+o(x-1)$

I dubbi sono due: posso scrivere gli o-piccoli direttamente con il grado maggiore? Per esempio, nel caso del logaritmo posso scrivere $o(x^2)$?
Come sostituisco lo sviluppo dell'argomento del coseno nello sviluppo del coseno?

Mi pare di aver sviluppato all'ordine giusto ad occhio, non mi si semplifica tutto.

donald_zeka
Non puoi scrivere $o(x^2)$ perché x tende a 1 non a zero, dato che x tende a 1 puoi fare una sostituzione $x-1=t$ e quindi calcolarti gli sviluppi per $t->0$ di:

$2ln(1+t)$;
$sin(-2t)$;
$cos(sqrt(3t))$

_Daniele_
"Vulplasir":
Non puoi scrivere $o(x^2)$ perché x tende a 1 non a zero, dato che x tende a 1 puoi fare una sostituzione $x-1=t$ e quindi calcolarti gli sviluppi per $t->0$ di:

$2ln(1+t)$;
$sin(-2t)$;
$cos(sqrt(3t))$


Ora provo e ti faccio sapere! Ti ringrazio

_Daniele_
Ho sviluppato così:

$2ln(1+t)=2t-t^2+(2t^3)/3+o(t^3)$

$sin(-2t)=-2t-((-2t)^3)/(3!)+o(t^3)$

$cos(sqrt(3t))=1-(3t)/2+((3t)^2)/24-((3t)^3)/720+o(t^3)$

è giusto?

donald_zeka
Si mi sembra giusto

_Daniele_
"Vulplasir":
Si mi sembra giusto


Vado avanti con l'esercizio e ti faccio sapere se viene, tanto ho il risultato :)

_Daniele_
Deve venire 2, io alla fine non riesco a semplificare nulla.

donald_zeka
Si, torna 2, non devi semplificare nulla, devi solo sommare i termini di grado più piccolo diverso da zero, in questo caso al numeratore devi sommare i termini di grado 2

_Daniele_
Quindi ho sbagliato a sviluppare fino all'ordine 3?

donald_zeka
No, perché non puoi sapere a priori quale sarà il primo ordine non nullo, come vedi i termini di grado 1 si eliminano tra loro, mentre i termini di grado 2 no, pertanto in questo caso i termini di grado 3 e successivi sono inutili, ma non si può sapere a priori, e se per esempio si fossero annullati tra loro anche tutti i termini di grado 2 allora avresti dovuto usare quelli di grado 3 e così via

_Daniele_
"Vulplasir":
No, perché non puoi sapere a priori quale sarà il primo ordine non nullo, come vedi i termini di grado 1 si eliminano tra loro, mentre i termini di grado 2 no, pertanto in questo caso i termini di grado 3 e successivi sono inutili, ma non si può sapere a priori, e se per esempio si fossero annullati tra loro anche tutti i termini di grado 2 allora avresti dovuto usare quelli di grado 3 e così via


Quindi la "regola" è quella di andare a tentativi se non riesco a determinare l'ordine ad occhio.
Avrò fatto i calcoli una decina di volte e non mi esce mai 2, rimango con: $ (2t^2+(5/4)t^3+o(t^3))/t^2$

Un'altra cosa che mi ha mandato in confusione: il logaritmo e il coseno li posso sviluppare all'ordine due, il seno no perché è dispari. Tant'è che non riesco ancora ad arrivare alla soluzione.

Ti ringrazio per la pazienza

donald_zeka
Scusa ma quanto fa quel limite che hai scritto?...non ha importanza fino a che ordine li puoi sviluppare, conta solo "il primo termine non nullo", al numeratore il primo termine non nullo è $2t^2$, al denominatore è $t^2$, tutto ciò che ha grado maggiore di questi due è del tutto inutile ai fini del calcolo del limite perché sono tutti degli o-piccolo del primo termine non nullo

_Daniele_
Il limite che ho scritto fa 2.

Ti metto il passaggio dopo gli sviluppi:
$ 2t-t^2+o(t^2)+(-2t+(8/6)t^3+o(t^3))(1-(3/2)t+(3/8)t^2+o(t^2) $=$2t-t^2+o(t^2)+(-2t+3t^2-(6/8)t^3+(8/6)t^3+o(t^3))$

kobeilprofeta
$2t^2+(5/4)t^3+o (t^3)=2t^2+o (t^2)=t^2 [2+o (1)] $, dove o(1) significa qualcosa che va a zero

Ora abbiamo $frac {t^2 [2+o (1)]}{t^2}=2+o (1) to 2$

_Daniele_
Perfetto! Ora ho capito qualche cosa in più!
Era il mio primo esercizio con Taylor, ho impiegato abbastanza tempo per risolverlo :D.

Grazie mille a entrambi.

kobeilprofeta
Prego

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