Limite con taylor
Non capisco perchè questo limite viene infinito $ lim x->0 (( sqrt(1+x)-e^(x/2)+cos^2(x)-1)/(log(1+x)arctg(x))) $ ho sviluppato fino al quarto ordine $ o(x^4) $ tranne che per il $ cos^2(x) $ che non ho capito se prendere il 3 o il 5 ordine in quanto non ha il 4...se prendessi il 3 allora verrebbe +infinito? è corretto? grazie ! 
Risposte
Si dato che il coseno per le derivate pari si annulla ed è per tale motivo che l'ordine di grandezza del coseno è sempre sommato a 1. Poi potresti prendere anche l'ordine 5, e in quel caso si annullerà riportandoti al medesimo risultato.
"MementoMori":
Si dato che il coseno per le derivate pari si annulla ed è per tale motivo che l'ordine di grandezza del coseno è sempre sommato a 1. Poi potresti prendere anche l'ordine 5, e in quel caso si annullerà riportandoti al medesimo risultato.
quindi in generale se sto sviluppando per un 4 ordine e mi capita come nel caso del coseno di trovare solamente un 3 o un 5 DEVO prendere il 3?
Puoi prendere entrambi, il risultato sarà sempre corretto se il limite ha ordine di infinitesimo minore di 5.
Sarebbe stato abbastanza semplice verificarlo utilizzando i limiti notevoli!
"Alfy88":
Sarebbe stato abbastanza semplice verificarlo utilizzando i limiti notevoli!
ho provato ma mi viene $ x^3/x^2 $ quindi 0,non ho considerato la radice al numeratore e ho moltiplicato e diviso il coseno per x^2 e la e
Hai ragione! Dando un'occhiata veloce può sfuggire.
Io farei così...
$ lim_(x -> 0) ( sqrt(1+x)-e^(x/2)+cos^2(x)-1)/(log(1+x)arctg(x))= $
$ lim_(x -> 0) (1+x/2-x^2/8+o(x^2)-[1+x/2+x^2/8+o(x^2)]+[1-x^2/2+o(x^2)]^2-1)/([x-x^2/2+o(x)^2]\cdot [x-x^3/3+o(x^3)] = $
$ lim_(x -> 0) (-x^2/8-x^2/8-x^2+o(x^2))/(x^2+o(x)^2) = $
$ lim_(x -> 0) (-5/4x^2+o(x)^2)/(x^2+o(x)^2)= -5/4 $
Io farei così...
$ lim_(x -> 0) ( sqrt(1+x)-e^(x/2)+cos^2(x)-1)/(log(1+x)arctg(x))= $
$ lim_(x -> 0) (1+x/2-x^2/8+o(x^2)-[1+x/2+x^2/8+o(x^2)]+[1-x^2/2+o(x^2)]^2-1)/([x-x^2/2+o(x)^2]\cdot [x-x^3/3+o(x^3)] = $
$ lim_(x -> 0) (-x^2/8-x^2/8-x^2+o(x^2))/(x^2+o(x)^2) = $
$ lim_(x -> 0) (-5/4x^2+o(x)^2)/(x^2+o(x)^2)= -5/4 $
"Alfy88":
Hai ragione! Dando un'occhiata veloce può sfuggire.
Io farei così...
$ lim_(x -> 0) ( sqrt(1+x)-e^(x/2)+cos^2(x)-1)/(log(1+x)arctg(x))= $
$ lim_(x -> 0) (1+x/2-x^2/8+o(x^2)-[1+x/2+x^2/8+o(x^2)]+[1-x^2/2+o(x^2)]^2-1)/([x-x^2/2+o(x)^2]\cdot [x-x^3/3+o(x^3)] = $
$ lim_(x -> 0) (-x^2/8-x^2/8-x^2+o(x^2))/(x^2+o(x)^2) = $
$ lim_(x -> 0) (-5/4x^2+o(x)^2)/(x^2+o(x)^2)= -5/4 $
gli o piccoli al denominatore non si moltiplicano? non ho capito perche viene x^2 +o(x^2)
Quando moltiplichi ottieni che l'ordine più basso è il 2! Tutto quello che viene dopo, con abuso di linguaggio, non conta perchè sono infinitesimi di ordine superiore ad $x^2$.
"Alfy88":
Quando moltiplichi ottieni che l'ordine più basso è il 2! Tutto quello che viene dopo, con abuso di linguaggio, non conta perchè sono infinitesimi di ordine superiore ad $x^2$.
giusto! però se moltiplico la o(x^2) per x dovrei ottenere o(x^3) come più basso giusto?
"christian95":
[quote="Alfy88"]Quando moltiplichi ottieni che l'ordine più basso è il 2! Tutto quello che viene dopo, con abuso di linguaggio, non conta perchè sono infinitesimi di ordine superiore ad $x^2$.
giusto! però se moltiplico la o(x^2) per x dovrei ottenere o(x^3) come più basso giusto?[/quote]
Cambia poco... comunque sì!
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