Limite con Taylor!
Salve ragazzi, ho un dubbio sulla risoluzione di questo limite con gli sviluppi di Taylor!
Il limite è il seguente:
$ lim_(x -> 0)(x^2sinx-x^3)/(xsqrt(1+x^2)+xcosx $
In base agli sviluppi di Taylor avrei:
$ x^2sinx~= x^2(x-x^3/6+o(x^4)) $
$ xsqrt(1+x^2)~= x(1+x^2/2-x^4/8+o(x^4)) $
$ xcosx~= x(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5)) $
e dunque per conseguenza si ha:
$ lim_(x -> 0)(x^2(x-x^3/6+o(x^4))-x^3)/(x(1+x^2/2-x^4/8+o(x^5))-x(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5)))= $
e cioè:
$ lim_(x->0)(-x^5/6+o(x^5))/(x^3+o(x^3))= 0 $
è giusto o c'è qualche cosa che non quadra?
Saluti ragazzi
Il limite è il seguente:
$ lim_(x -> 0)(x^2sinx-x^3)/(xsqrt(1+x^2)+xcosx $
In base agli sviluppi di Taylor avrei:
$ x^2sinx~= x^2(x-x^3/6+o(x^4)) $
$ xsqrt(1+x^2)~= x(1+x^2/2-x^4/8+o(x^4)) $
$ xcosx~= x(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5)) $
e dunque per conseguenza si ha:
$ lim_(x -> 0)(x^2(x-x^3/6+o(x^4))-x^3)/(x(1+x^2/2-x^4/8+o(x^5))-x(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5)))= $
e cioè:
$ lim_(x->0)(-x^5/6+o(x^5))/(x^3+o(x^3))= 0 $
è giusto o c'è qualche cosa che non quadra?
Saluti ragazzi
Risposte
Nel fare la penultima direi che hai sbagliato un segno...
ciao Quinzio, grazie per la risposta! Quale segno ho sbagliato?
"Alfy88":
ciao Quinzio, grazie per la risposta! Quale segno ho sbagliato?
ma non lo vedi da solo ?
Giuro che rifaccio tutti i conti... hai ragione 
Allora dovrebbe essere:
$ lim_(x -> 0)(x^2(x-x^3/6+o(x^4))-x^3)/(x(1+x^2/2-x^4/8+o(x^5))+x(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5)))= $
e cioè:
$ lim_(x->0)(-x^5/6+o(x^5))/(2x+o(x^2))= 0 $
è giusto ora?
$ lim_(x -> 0)(x^2(x-x^3/6+o(x^4))-x^3)/(x(1+x^2/2-x^4/8+o(x^5))+x(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5)))= $
e cioè:
$ lim_(x->0)(-x^5/6+o(x^5))/(2x+o(x^2))= 0 $
è giusto ora?
Sottopongo alla vostra supervisione un altro limite risolto con Taylor... è un modo per correggere i miei (certi) errori, e un modo per chi vuole migliorarsi di fare esercitazione, non credete?
Il limite è il seguente:
$ lim_(x->0)(log(1+senx)-log(1+x)+3x-sen3x)/(x-arctgx) $
Gli svluppi di Taylor dovrebbero essere i seguenti:
$ log(1+sinx)~= x-x^2/2+x^3/6+o(x^4) $
$ log(1+x)~= x-x^2/2+x^3/3+o(x^3) $
$ sin3x~= 3x-9/2x^3+o(x^4) $
$ arctgx~=x-x^3/3+o(x^4) $
quindi il limite diventa:
$ lim_(x->0)(x-x^2/2+x^3/6+o(x^4)-(x-x^2/2+x^3/3+o(x^3))+3x-(3x-9/2x^3+o(x^4)))/(x-( x-x^3/3+o(x^4)) $
e cioè
$ lim_(x->0) (x^3/6-x^3/3+9/2x^3+o(x^4))/(x^3/3+o(x^4))= $
e ancora:
$ lim_(x->0) (13/3x^3+o(x^3))/(x^3/3+o(x^3))= 13 $
è tutto giusto? Io ho molto dubbi
Il limite è il seguente:
$ lim_(x->0)(log(1+senx)-log(1+x)+3x-sen3x)/(x-arctgx) $
Gli svluppi di Taylor dovrebbero essere i seguenti:
$ log(1+sinx)~= x-x^2/2+x^3/6+o(x^4) $
$ log(1+x)~= x-x^2/2+x^3/3+o(x^3) $
$ sin3x~= 3x-9/2x^3+o(x^4) $
$ arctgx~=x-x^3/3+o(x^4) $
quindi il limite diventa:
$ lim_(x->0)(x-x^2/2+x^3/6+o(x^4)-(x-x^2/2+x^3/3+o(x^3))+3x-(3x-9/2x^3+o(x^4)))/(x-( x-x^3/3+o(x^4)) $
e cioè
$ lim_(x->0) (x^3/6-x^3/3+9/2x^3+o(x^4))/(x^3/3+o(x^4))= $
e ancora:
$ lim_(x->0) (13/3x^3+o(x^3))/(x^3/3+o(x^3))= 13 $
è tutto giusto? Io ho molto dubbi
Giusto, solo hai fatto un po' di confusione al numeratore, alla fine: il coefficiente dovrebbe essere ${13}/3$
"ciampax":
Giusto, solo hai fatto un po' di confusione al numeratore, alla fine: il coefficiente dovrebbe essere ${13}/3$
ho sbagliato a scrivere? Il conto dovrebbe essere esatto: $1-1/3+9/2=31/6$
Il primo è $1/6$...
"ciampax":
Il primo è $1/6$...
Auahauahauahau giusto... grazie
!
Vi sottopongo ancora un limite, ancora con gli svluppi del mitico Taylor...
$ lim_(x->0)(log(1+xarctgx)-e^(x^2)+1)/(sqrt(1+2x^4)-1 $
Gli sviluppi dovrebbero essere:
$ log(1+xarctgx)~= x^2-5/6x^4+2/3x^6+o(x^6) $
$ e^(x^2)~= 1+x^2+x^4/2+o(x^4) $
$ sqrt(1+2x^4)~= 1+x^4-x^8/2+o(x^8) $
e dunque si ha:
$ lim_(x->0)(x^2-5/6x^4+2/3x^6+o(x^6)-(1+x^2+x^4/2+o(x^4))+1)/(1+x^4-x^8/2+o(x^8)-1 $
e dunque:
$ lim_(x->0)(-4/3x^4+o(x^4))/(x^4+o(x^4))= -4/3 $
vi risulta?
$ lim_(x->0)(log(1+xarctgx)-e^(x^2)+1)/(sqrt(1+2x^4)-1 $
Gli sviluppi dovrebbero essere:
$ log(1+xarctgx)~= x^2-5/6x^4+2/3x^6+o(x^6) $
$ e^(x^2)~= 1+x^2+x^4/2+o(x^4) $
$ sqrt(1+2x^4)~= 1+x^4-x^8/2+o(x^8) $
e dunque si ha:
$ lim_(x->0)(x^2-5/6x^4+2/3x^6+o(x^6)-(1+x^2+x^4/2+o(x^4))+1)/(1+x^4-x^8/2+o(x^8)-1 $
e dunque:
$ lim_(x->0)(-4/3x^4+o(x^4))/(x^4+o(x^4))= -4/3 $
vi risulta
?
E questo è quello che mi ha datto maggiori grattacapi, quindi mi dovete aiutare:
$ lim_(x -> 0)(e^(sqrtx/2)-cosx^(1/4)-sqrtx)^2/(xarctgx-1+e^(x^2) $
gli sviluppi di Taylor dovrebbero essere:
$ e^(sqrtx/2)~=1+sqrtx/2+x/8+(xsqrtx)/48+o(xsqrtx) $
$ cosx^(1/4)~= 1-sqrtx/2+x/24-(xsqrtx)/720+o(xsqrtx) $
e quindi, con gli altri sviluppi si ha:
$ lim_(x->0)[1+sqrtx/2+x/8+(xsqrtx)/48+o(xsqrtx)-(1-sqrtx/2+x/24-(xsqrtx)/720+o(xsqrtx))-sqrtx]^2/(x(x-x^3/3+o(x^3))-1+(1+x^2+o(x^2)) $
ed eseguendo tutte le operazioni, si ha:
$ lim_(x -> 0)(1/144x^2+o(x^2))/(2x^2+o(x^2))=1/288 $
ditemi che è giusto XD
$ lim_(x -> 0)(e^(sqrtx/2)-cosx^(1/4)-sqrtx)^2/(xarctgx-1+e^(x^2) $
gli sviluppi di Taylor dovrebbero essere:
$ e^(sqrtx/2)~=1+sqrtx/2+x/8+(xsqrtx)/48+o(xsqrtx) $
$ cosx^(1/4)~= 1-sqrtx/2+x/24-(xsqrtx)/720+o(xsqrtx) $
e quindi, con gli altri sviluppi si ha:
$ lim_(x->0)[1+sqrtx/2+x/8+(xsqrtx)/48+o(xsqrtx)-(1-sqrtx/2+x/24-(xsqrtx)/720+o(xsqrtx))-sqrtx]^2/(x(x-x^3/3+o(x^3))-1+(1+x^2+o(x^2)) $
ed eseguendo tutte le operazioni, si ha:
$ lim_(x -> 0)(1/144x^2+o(x^2))/(2x^2+o(x^2))=1/288 $
ditemi che è giusto XD
Entrambi corretti.
Grazie ciampax per le risposte!
Ho ancora questo limite da mostrarvi:
$ lim_(x -> 0)((sin^2x-logcosx)log(1+sinx))/(xsinxsin2x) $
da cui, con gli sviluppi in serie:
$ lim_(x -> 0)((x^2-x^4/3+o(x^5)+x^2/2+x^4/12+o(x^5))(x-x^2/2+x^3/6+o(x^4)))/(x(x-x^3/6+o(x^4))(2x-4/3x^3+o(x^4))$
e ancora, con un p' di calcoli:
$ lim_(x -> 0)((3/2x^2-x^4/4+o(x^4))(x-x^2/2+x^3/6+o(x^4)))/(x(2x^2-5/3x^4+2/9x^6+o(x^6)) $
e cioè:
$ lim_(x->0)(3/2x^3+o(x^3))/(2x^3+o(x^3))=3/4 $
Mi controllate anche se il primo limite è corretto? Vi ringrazio infinitamente, e scusate se sto rompendo troppo XD
Ho ancora questo limite da mostrarvi:
$ lim_(x -> 0)((sin^2x-logcosx)log(1+sinx))/(xsinxsin2x) $
da cui, con gli sviluppi in serie:
$ lim_(x -> 0)((x^2-x^4/3+o(x^5)+x^2/2+x^4/12+o(x^5))(x-x^2/2+x^3/6+o(x^4)))/(x(x-x^3/6+o(x^4))(2x-4/3x^3+o(x^4))$
e ancora, con un p' di calcoli:
$ lim_(x -> 0)((3/2x^2-x^4/4+o(x^4))(x-x^2/2+x^3/6+o(x^4)))/(x(2x^2-5/3x^4+2/9x^6+o(x^6)) $
e cioè:
$ lim_(x->0)(3/2x^3+o(x^3))/(2x^3+o(x^3))=3/4 $
Mi controllate anche se il primo limite è corretto? Vi ringrazio infinitamente, e scusate se sto rompendo troppo XD
E ancora:
$ lim_(x->0)(log(e^x-x-sinx^2))/(x-sqrtxarctgsqrtx) $
sostituendo con gli sviluppi di Taylor si ha:
$ lim_(x->0)(log(1+x+x^2/2+o(x^2)-x-x^2+o(x^3)))/(x-sqrtx(sqrtx-(xsqrtx)/3+o(xsqrtx)) $
e cioè, ancora:
$ lim_(x->0)(log(1-x^2/2+o(x^2)))/(x-x+x^2/3+o(x^4)) $
infine:
$ lim_(x->0)(-x^2/2+o(x^2))/(x^2/3+o(x^4))=-3/2 $
$ lim_(x->0)(log(e^x-x-sinx^2))/(x-sqrtxarctgsqrtx) $
sostituendo con gli sviluppi di Taylor si ha:
$ lim_(x->0)(log(1+x+x^2/2+o(x^2)-x-x^2+o(x^3)))/(x-sqrtx(sqrtx-(xsqrtx)/3+o(xsqrtx)) $
e cioè, ancora:
$ lim_(x->0)(log(1-x^2/2+o(x^2)))/(x-x+x^2/3+o(x^4)) $
infine:
$ lim_(x->0)(-x^2/2+o(x^2))/(x^2/3+o(x^4))=-3/2 $
anche questo vorrei che fosse controllato:
$ lim_(x->0)(2sinx-sin2x+x(cosx-e^(2x^2)))/(arctg2x-2log(1+x)-x^2) $
sostituendo con gli sviluppi di Taylor ho:
$ lim_(x->0)(2x-2/3x^3+o(x^4)-2x+4/3x^3+o(x^4)+x(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5)-1-2x^2-2x^4+o(x^4)))/(2x-8/3x^3+o(x^4)-2(x-x^2/2+x^3/3+o(x^3))-x^2) $
da cui si ha:
$ lim_(x->0)(2x-2/3x^3+o(x^4)-2x+4/3x^3+o(x^4)-5/2x^3+o(x^3))/(2x-8/3x^3+o(x^4)-2x+x^2-2/3x^3+o(x^3)-x^2 $
e cioè:
$ lim_(x->0)((-2/3+4/3-5/2)x^3+o(x^3))/((-8/3-2/3)x^3+o(x^3)) $
$ lim_(x->0)(-11/6x^3+o(x^3))/(-10/3x^3+o(x^3))=11/20 $
sono entrambi corretti
grazie sempre ragazzi... XD
$ lim_(x->0)(2sinx-sin2x+x(cosx-e^(2x^2)))/(arctg2x-2log(1+x)-x^2) $
sostituendo con gli sviluppi di Taylor ho:
$ lim_(x->0)(2x-2/3x^3+o(x^4)-2x+4/3x^3+o(x^4)+x(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5)-1-2x^2-2x^4+o(x^4)))/(2x-8/3x^3+o(x^4)-2(x-x^2/2+x^3/3+o(x^3))-x^2) $
da cui si ha:
$ lim_(x->0)(2x-2/3x^3+o(x^4)-2x+4/3x^3+o(x^4)-5/2x^3+o(x^3))/(2x-8/3x^3+o(x^4)-2x+x^2-2/3x^3+o(x^3)-x^2 $
e cioè:
$ lim_(x->0)((-2/3+4/3-5/2)x^3+o(x^3))/((-8/3-2/3)x^3+o(x^3)) $
$ lim_(x->0)(-11/6x^3+o(x^3))/(-10/3x^3+o(x^3))=11/20 $
sono entrambi corretti
grazie sempre ragazzi... XD
Up per questi ultimi tre... poi non vi rompo più
I primi due sì, l'ultimo deve venire $9/{20}$.
"ciampax":
I primi due sì, l'ultimo deve venire $9/{20}$.
Provo a rifare i conti... grazieeeeeee XD
Hai ragione, c'è un errore nello sviluppo in serie di Taylor di $2sinx=2x-x^3/3+o(x^4)$ e non come ho scritto io $2senx=2x-(2x^3)/3$. E dunque si ha:
$ lim_(x->0)((-1/3+4/3-1/2-2)x^3+o(x^3))/(-10/3x^3+o(x^3) $
e cioè:
$ lim_(x->0)(-3/2x^3+o(x^3))/(-10/3x^3+o(x^3))=9/20 $
$ lim_(x->0)((-1/3+4/3-1/2-2)x^3+o(x^3))/(-10/3x^3+o(x^3) $
e cioè:
$ lim_(x->0)(-3/2x^3+o(x^3))/(-10/3x^3+o(x^3))=9/20 $
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