Limite con Taylor!

[Alfy881]

Salve ragazzi, ho un dubbio sulla risoluzione di questo limite con gli sviluppi di Taylor!

Il limite è il seguente:

$ lim_(x -> 0)(x^2sinx-x^3)/(xsqrt(1+x^2)+xcosx $

In base agli sviluppi di Taylor avrei:

$ x^2sinx~= x^2(x-x^3/6+o(x^4)) $

$ xsqrt(1+x^2)~= x(1+x^2/2-x^4/8+o(x^4)) $

$ xcosx~= x(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5)) $

e dunque per conseguenza si ha:

$ lim_(x -> 0)(x^2(x-x^3/6+o(x^4))-x^3)/(x(1+x^2/2-x^4/8+o(x^5))-x(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5)))= $

e cioè:

$ lim_(x->0)(-x^5/6+o(x^5))/(x^3+o(x^3))= 0 $

è giusto o c'è qualche cosa che non quadra?

Saluti ragazzi

[Alfy881]

Ci sono anche questi ultimi due:

1) $ lim_(x -> 0)(e^(xe^x)-log^2(1+sqrtx)-1) /sqrt(arctgx-xcosx $

se gli sviluppi sono corretti, si ha:

$ lim_(x -> 0)(1+x+2x^2+o(x^2)-x+xsqrtx-11/12x^2+o(x^2)-1)/(1/sqrt6xsqrtx+o(xsqrtx) $

e cioè:

$ lim_(x -> 0)(xsqrtx+o(xsqrtx))/(1/sqrt6xsqrtx+o(xsqrtx))=sqrt6 $

2) $ lim_(x->0)(log(1-5x)+arctg5x)/log(1+x^2) $

con gli sviluppi si ha:

$ lim_(x->0)(-5x-25/2x^2-125/3x^3+o(x^3)+5x-125/3x^3+o(x^3))/(x^2-x^4/2+o(x^4)) $

e cioè:

$ lim_(x->0)(-25/2x^2+o(x^2))/(x^2+o(x^2))=-25/2 $

corretto ?

[ciampax]

Corretto... però mo basta!