Limite con Taylor

[losangeles-lakers]

Ciao a tutti, dopo numerosi tentativi mi sono arreso e chiedo aiuto a voi, non riesco a svolgere questo limite con taylor
$lim_(x -> 0) (xsenx+log(1-x^2))/(x^2(2x+x^2)^2)$
Posti :
$senx=x-x^3/6+o(x^4)$
quindi:
$xsenx=x^2-x^4/6+o(x^5)$
e
$log(1-x^2)=-x^2+x^4/2+o(x^4)$
Al numeratore mi ritroverò:
$x^4/6+o(x^5)+x^4/2+o(x^4)$
Visto che l' $o(x^4)$ mangia $o(x^5)$ avrò:
$-1/6x^4+o(x^4)$
Ovvero mi rimane da svolgere il seguente limite:
$lim_(x -> 0) (-1/6x^4+o(x^4))/(x^2(2x+x^2)^2)$
il denominatore non riesco proprio a semplificarlo mi ritrovo sempre $oo$ anche mettendo $2x$ in evidenza e sviluppandolo secondo Taylor...
Come posso procedere? Grazie mille

[losangeles-lakers]

"TeM":[quote="Frankie8"]Posti :
$senx=x-x^3/6+o(x^4)$
quindi:
$xsenx=x^2-x^4/6+o(x^5)$
e
$log(1-x^2)=-x^2+x^4/2+o(x^4)$

Occhio all'ultima riga! Infatti si ha \( \log\left(1-x^2\right) = -x^2-\frac{x^4}{2} + o\left(x^4\right) \) .

"Frankie8":Al numeratore mi ritroverò:
$-1/6x^4+o(x^4)$

A questo punto il conto porta a \(- \frac{2}{3}x^4 + o\left(x^4\right)\) .

"Frankie8":il denominatore non riesco proprio a semplificarlo mi ritrovo sempre $oo$ anche mettendo $2x$ in evidenza e sviluppandolo secondo Taylor...

Taylor? Sviluppare secondo Taylor sostanzialmente significa approssimare localmente una funzione complessa con una polinomiale (la funzione più semplice del mondo). Ma dato che a denominatore hai già un polinomio...

Osserva che \(x^2\left(2x+x^2\right)^2 = x^4\left(2+x\right)^2 \) ... a questo punto, semplificando, la forma indeterminata sparisce e quindi puoi eseguire il calcolo senza alcuna seccatura [/quote]
Ciao grazie mille per la risposta, non ci ero arrivato al denominatore , cmq sempre al denominatore una volta sviluppato potevamo trascurare tutte le x di grado maggiore a 4?