Limite con Taylor
Come si risolve il seguente limite utilizzando lo sviluppo di Taylor?
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin\sqrt{x}-\sqrt{x(1-\frac{1}{3}x)}}{(\sqrt{x}-xlogx)^3}[/tex]
Io l'ho risolto nel seguente modo:
[tex]\frac{\sqrt{x}-\frac{1}{6}x^{\frac{3}{2}}+o(x^{\frac{3}{2}})-\sqrt{x}(1+o(1))}{(\sqrt{x}-x(x-1-\frac{1}{2}(x-1)^2)^3}[/tex]
[tex]\frac{-\frac{1}{6}x^{\frac{3}{2}}(1+o(1))}{x^{\frac{3}{2}}(1+o(1))}[/tex]
Quindi:
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin\sqrt{x}-\sqrt{x(1-\frac{1}{3}x)}}{(\sqrt{x}-xlogx)^3}=-\frac{1}{6}[/tex]
Solo che penso sia sbagliato il mio procedimento..
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin\sqrt{x}-\sqrt{x(1-\frac{1}{3}x)}}{(\sqrt{x}-xlogx)^3}[/tex]
Io l'ho risolto nel seguente modo:
[tex]\frac{\sqrt{x}-\frac{1}{6}x^{\frac{3}{2}}+o(x^{\frac{3}{2}})-\sqrt{x}(1+o(1))}{(\sqrt{x}-x(x-1-\frac{1}{2}(x-1)^2)^3}[/tex]
[tex]\frac{-\frac{1}{6}x^{\frac{3}{2}}(1+o(1))}{x^{\frac{3}{2}}(1+o(1))}[/tex]
Quindi:
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin\sqrt{x}-\sqrt{x(1-\frac{1}{3}x)}}{(\sqrt{x}-xlogx)^3}=-\frac{1}{6}[/tex]
Solo che penso sia sbagliato il mio procedimento..
Risposte
Considerato che hai sviluppato la funzione seno ai primi due termini, io svilupperei anche la radici con i primi due termini: credo che il coefficiente della potenza $3/2$ non sia quello che hai scritto. A denominatore è tutto corretto, l'ordine di infinitesimo nella parentesi è $1/2$ per cui elevando al cubo resta quello che hai scritto.
Sviluppando le radici al numeratore se non ho sbagliato ottengo lo stesso risultato con 3/2 come grado della x..
Dunque:
$\sqrt{x(1-1/3 x)}=\sqrt{x}(1-1/6 x+o(x))=x^{1/2}-1/6 x^{3/2}+o(x^{3/2})$
per cui il denominatore corretto è $o(x^{3/2})$ e il limite vale $0$.
$\sqrt{x(1-1/3 x)}=\sqrt{x}(1-1/6 x+o(x))=x^{1/2}-1/6 x^{3/2}+o(x^{3/2})$
per cui il denominatore corretto è $o(x^{3/2})$ e il limite vale $0$.
Si hai ragione ho sbagliato il limite viene 0
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