Limite con Taylor

[m.ar_co_lino]

Devo risolvere questo limite:

\(\displaystyle \lim_{{{x}\to{0^+}}}\frac{e^{-arctan(x)}-1+ln(1+x)}{x(1-cos(x))} \)

In linea di massima lo saprei fare, basta sostituire con Taylor, e se lo faccio mi viene:
Numeratore: \(\displaystyle \frac{x^3}3 - \frac{x^2}2 \)
Denominatore: \(\displaystyle \frac{x^3}2 \)
e passando a limite il risultato mi ridà \(\displaystyle -oo \)

Tuttavia Wolfram ottiene:
Numeratore: \(\displaystyle \frac{x^3}2 \)
Denominatore: \(\displaystyle \frac{x^3}2 \)
e il suo risultato (ovviamente corretto) è \(\displaystyle 1 \)

Dato che non capisco proprio dove sbaglio (secondo me quando faccio \(\displaystyle e^{-arctan(x)} \)), potete darmi una mano??

[pater46]

$x^3/3 - x^2/2 = x^3/3(1-3/(2x))$

Aiuta?

[m.ar_co_lino]

veramente no ._. il limite non ridà comunque

[Brancaleone1]

A me viene

$e^(-arctan(x))=1-x+x^2/2+x^3/6+x^3 omega(x)$

$ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+x^3 omega(x)$

$cos(x)=1-x^2/2+x^2 omega(x)$

e quindi, trascurando gli infinitesimi di ordine maggiore

$lim_(x->0^+)(e^(-arctan(x))-1+ln(1+x))/(x(1-cos(x)))=((1-x+x^2/2+x^3/6)-1+(x-x^2/2+x^3/3))/(x(1-1+x^2/2))=((3x^3)/6)/(x^3/2)=1$

[pemaberty]

Inizialmente anche a me veniva come te. Penso che il tuo errore sia nello sviluppare $e^y$ e penso che tu abbia fatto il mio stesso errore iniziale. Ovvero lo sviluppo di $ e^y = 1+y+(y^2)/2 $ . Io ho dimenticato proprio qui di dividere per due

[Brancaleone1]

Al numeratore bisogna calcolare le serie fino al terzo ordine, perché fino al secondo i termini si annullano

[m.ar_co_lino]

grazie Brancaleone *.* ora rileggendo la mia domanda mi sento uno stupido XD