Limite con tangente all'infinito.

[vivi996]

Buongiorno, stavo studiando questo limite
$\lim_{x \to \infty}log_3x+1/(1+tan^2x)$

Il logaritmo va ad $infty$, il mio dubbio riguarda la tangente. Essa ad infinito come si comporta? Essendo periodica con asintoti verticali, ad infinito prende valori distinti? Devo prendere due successioni per dimostrare che questo limite non esiste ?
Altrimenti volevo chiedervi se aveste un esempio di limite che all'infinito non esiste dimostrandolo con le due successioni. Perchè non ho ancora ben chiaro come utilizzare questo metodo risolutivo.

[Brancaleone1]

Attento/a ricorda che

$1/(1+tan^2(x))=1/(1+sin^2(x)/(cos^2(x)))= 1/(([cos^2(x)+sin^2(x)]=1)/(cos^2(x)))=cos^2(x)$

[dissonance]

"Brancaleone":Attento/a ricorda che

$1/(1+tan^2(x))=1/(1+sin^2(x)/(cos^2(x)))= 1/(([cos^2(x)+sin^2(x)]=1)/(cos^2(x)))=cos^2(x)$

Questo mi era proprio sfuggito, bella osservazione.

Comunque mi sembra un po' fuori luogo assegnare un esercizio così, perché a rigore la funzione "limitanda" ( ) non è definita in un intorno di \(+\infty\). L'espressione data, infatti, non ha senso per \(x=\pi/2 + k\pi\) per ogni \(k\in\mathbb Z\).

Altra cosa è che, con l'argomento di Brancaleone, l'espressione data si prolunga per continuità a tali punti e dunque si può considerare come definita su tutto \(\mathbb R\). Ma non mi pare il caso di introdurre questi sofismi a livello di Analisi 1 senza nessuna considerazione.

[vivi996]

Non penso ci sarei mai arrivata, grazie mille. Dunque fa infinito? Dove posso trovare esempi sui limiti con le successioni? :/

[Brancaleone1]

"dissonance":[quote="Brancaleone"]Attento/a ricorda che

$1/(1+tan^2(x))=1/(1+sin^2(x)/(cos^2(x)))= 1/(([cos^2(x)+sin^2(x)]=1)/(cos^2(x)))=cos^2(x)$

Questo mi era proprio sfuggito, bella osservazione.

[/quote]
Grazie dissonance! Ricevere un apprezzamento da te non può che farmi piacere

"vivi96":Dunque fa infinito?

Sì, tenendo conto della spiegazione di dissonance



EDIT: mmh, riflettendoci però non so se il limite di quella funzione sia davvero infinito. Voglio dire (lo so, non sto dicendo niente di nuovo) la relazione

$1/(1+tan^2(x))=cos^2(x)$

ha senso solo per $x in RR \\ {k pi/2, k in ZZ \\ {0}}$, cioè sono autorizzato a usare indifferentemente i due termini se e solo se la variabile appartiene a quell'insieme, però non è questo il caso dato che stiamo calcolandone il limite a infinito, quindi il limite non dovrebbe esistere.