Limite con sviluppo taylor aiuto

[lolopo1]

$ lim_(x -> 0) (tan(2x) sin(x^2))/(x(e^(6x)-(1+x)^6) $

Qualcuno puo gentilmete aiutarmi a sviluppare questo limite con sviluppo di taylor ?


[img]https://prnt.sc/m3oijp[/img]



https://prnt.sc/m3oijp



Grazie

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Sei pregato di inserire il testo dell’esercizio con le formule, non con una foto.[/xdom]

Idee tue?

[lolopo1]

Mi sono perso per strada con i passaggi , se mi potete siutare ve ne sono grato

PS : non so come si inserisce a formule per quello ho messo foto. se mi spiegate

[gugo82]

Grazie per aver sistemato le formule.

"lolopo":Mi sono perso per strada con i passaggi , se mi potete siutare ve ne sono grato

Posta i passaggi e vediamo dove ti perdi.

[lolopo1]

$ ((2x+o(x))(x+o(x)))/(x(1+6x+0(x)-(1+x)^6) $


$ (2x^2+o(x))/(x(1+6x+o(x)) $

[gugo82]

Ok, anche se al numeratore c’è un errore nell’esponente del resto e ti rimane da sviluppare un po’ quella potenza di binomio al denominatore...

Vedi da te che l’unico problema ce l’hai al denominatore, dove i contributi al primo ordine si cancellano.
Questo vuol dire che non ti basta sviluppare l’esponenziale al primo ordine, ma devi andare avanti.

[lolopo1]

$ ((2x+o(x))(x+o(x^4)))/(x(1+6x+0(x)-(1+x)^6) $


forse al numeratore dovrebbe essere cosi. Ma non ho capito come svilupparlo poi il binomio . Per le regole dell o piccolo sembra che mi si annulli tutto rimanga solo $0(x^2)$

ma di sicuro sto sbagliando

[gugo82]

"lolopo":$ ((2x+o(x))(x+o(x^4)))/(x(1+6x+0(x)-(1+x)^6) $


forse al numeratore dovrebbe essere cosi. Ma non ho capito come svilupparlo poi il binomio . Per le regole dell o piccolo sembra che mi si annulli tutto rimanga solo $0(x^2)$

ma di sicuro sto sbagliando

Allora:
\[
\begin{split}
\tan 2x &= 2x + \text{o}(x) \\
\sin x^2 &= x^2 + \text{o}(x^2) \\
e^{6x} &= 1 + 6x + 18x^2 + \text{o}(x^2)
\end{split}
\]
e la potenza di binomio $(1+x)^6$ si impara a svilupparla alle superiori (col triangolo di Tartaglia).

[lolopo1]

$ (x^3(1+o(x)))/(x(3x^2
o(x^2) $


non so se fin qui ho fatto tutto bene

[gugo82]

Ci dovrebbe essere un $+$ a denominatore, ma corretto ciò sembra ok.

Come concludi?

[lolopo1]

forse riguardando i calcoli an numeratore avevo saltato un due nella messa in evidenza

$ (2x^3(1+o(x)))/(x(3x^2+
o(x^2) $

poi lo larei diventrare

$ (2x^3(1+o(x)))/(3x^3(1+
o(x) ) $

risultato finale $ 2/3 $

Spero di non aver errato coi calcoli

[gugo82]

"lolopo":forse riguardando i calcoli an numeratore avevo saltato un due nella messa in evidenza

$ (2x^3(1+o(x)))/(x(3x^2+
o(x^2) ))$

Dovrebbe essere giusto, ma a quest'ora non ci metterei la mano sul fuoco.

poi lo larei diventrare

$ (2x^3(1+o(x)))/(3x^3(1+
o(x) )) $

Mettendo in evidenza $x^2$ al denominatore trovi piuttosto:

$ (2x^3(1+o(x)))/(3x^3(1+
o(1) )) $

Ma ciò non influisce sul calcolo.

risultato finale $ 2/3 $

Spero di non aver errato coi calcoli

Algebricamente no.
Controlla gli sviluppi, comunque.

[lolopo1]

temo proprio di aver errato qualche svippo. ma non so dove