Limite, con sviluppo e parametro
Avrei bisogno di un consiglio su questo esercizio,
dove la consegna è: per quali valori del parametro \(\displaystyle \alpha \in R \) il limite vale 0.
Ho fatto un cambio di variabile: \(\displaystyle y = \log(1+ 3x) \) e diviso (e moltiplicato) per questa quantità, in modo che il primo termine fosse riconducibile al limite notevole sinx/x = 1;
poi ho sviluppato gli altri termini con Maclaurin;
ma passando al limite non mi viene una quantità finita!
help
please
dove la consegna è: per quali valori del parametro \(\displaystyle \alpha \in R \) il limite vale 0.
Ho fatto un cambio di variabile: \(\displaystyle y = \log(1+ 3x) \) e diviso (e moltiplicato) per questa quantità, in modo che il primo termine fosse riconducibile al limite notevole sinx/x = 1;
poi ho sviluppato gli altri termini con Maclaurin;
ma passando al limite non mi viene una quantità finita!
help
please
Risposte
prova a confrontare con i tuoi calcoli
\begin{align}
&\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(\ln (1+3x))-e^{3x}+\cos x}{\sin^{3\alpha} x}\\
&\stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to0^+}\frac{ \ln (1+3x)+\frac{\left(\ln (1+3x)\right)^3}{3!}-1-3x-\frac{9x^2}{2} -\frac{27x^3}{3!}+1-\frac{x^2}{2}}{x^{3\alpha}}\\
&\stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to0^+}\frac{3x-\frac{9x^2}{2}-\frac{27x^3}{2}+\frac{\left(3x-\frac{9x^2}{2}-\frac{27x^3}{2}\right)^3}{3!}-1-3x-\frac{9x^2}{2} -\frac{27x^3}{3!}+1-\frac{x^2}{2}}{x^{3\alpha}}\\
&=\lim_{x\to0^+}\frac{3x-\frac{9x^2}{2}-\frac{27x^3}{2}+\frac{ 27x^3 }{3!} -1-3x-\frac{9x^2}{2} -\frac{27x^3}{3!}+1-\frac{x^2}{2}}{x^{3\alpha}}\\
&=\lim_{x\to0^+}\frac{ -\frac{9x^2}{2}-\frac{27x^3}{2} -\frac{9x^2}{2} -\frac{x^2}{2}}{x^{3\alpha}}=\lim_{x\to0^+}\frac{ -\frac{19x^2}{2} }{x^{3\alpha}} \\
&=\lim_{x\to0^+} -\frac{19}{2} x^{2-3\alpha} =\begin{cases} 0,&\mbox{se} \,\,2-3\alpha>0, \,\,\alpha<\frac{2}{3}\\\\
-\frac{19}{2},&\mbox{se} \,\,2-3\alpha=0, \,\,\alpha=\frac{2}{3}\\\\
-\infty ,&\mbox{se}\,\, 2-3\alpha<0, \,\,\alpha>\frac{2}{3}\end{cases}. \end{align}
\begin{align}
&\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(\ln (1+3x))-e^{3x}+\cos x}{\sin^{3\alpha} x}\\
&\stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to0^+}\frac{ \ln (1+3x)+\frac{\left(\ln (1+3x)\right)^3}{3!}-1-3x-\frac{9x^2}{2} -\frac{27x^3}{3!}+1-\frac{x^2}{2}}{x^{3\alpha}}\\
&\stackrel{\bf(T)}{=}\lim_{x\to0^+}\frac{3x-\frac{9x^2}{2}-\frac{27x^3}{2}+\frac{\left(3x-\frac{9x^2}{2}-\frac{27x^3}{2}\right)^3}{3!}-1-3x-\frac{9x^2}{2} -\frac{27x^3}{3!}+1-\frac{x^2}{2}}{x^{3\alpha}}\\
&=\lim_{x\to0^+}\frac{3x-\frac{9x^2}{2}-\frac{27x^3}{2}+\frac{ 27x^3 }{3!} -1-3x-\frac{9x^2}{2} -\frac{27x^3}{3!}+1-\frac{x^2}{2}}{x^{3\alpha}}\\
&=\lim_{x\to0^+}\frac{ -\frac{9x^2}{2}-\frac{27x^3}{2} -\frac{9x^2}{2} -\frac{x^2}{2}}{x^{3\alpha}}=\lim_{x\to0^+}\frac{ -\frac{19x^2}{2} }{x^{3\alpha}} \\
&=\lim_{x\to0^+} -\frac{19}{2} x^{2-3\alpha} =\begin{cases} 0,&\mbox{se} \,\,2-3\alpha>0, \,\,\alpha<\frac{2}{3}\\\\
-\frac{19}{2},&\mbox{se} \,\,2-3\alpha=0, \,\,\alpha=\frac{2}{3}\\\\
-\infty ,&\mbox{se}\,\, 2-3\alpha<0, \,\,\alpha>\frac{2}{3}\end{cases}. \end{align}
Non ho controllato i conti dello sviluppo al terzo ordine ... io mi ero fermata al secondo tranne che per il sen.
Comunque alla fine, va bene, abbiamo lo stesso risultato \(\displaystyle =\lim_{x\to0^+} -\frac{19}{2} x^{2-3\alpha} \)
pensavo fosse sbagliato perché quando passo limite scrivo:
\(\displaystyle =\lim_{x\to0^+} -\frac{19}{2} (0^{+})^{2-3\alpha} \)
e quindi pongo \(\displaystyle \frac{19}{2} (0^{+})^{2-3\alpha} = 0 \)
domanda
: \(\displaystyle 0^0 = 0 \) , ma l'espressione \(\displaystyle 0^n \) non perde di significato?
Comunque alla fine, va bene, abbiamo lo stesso risultato \(\displaystyle =\lim_{x\to0^+} -\frac{19}{2} x^{2-3\alpha} \)
pensavo fosse sbagliato perché quando passo limite scrivo:
\(\displaystyle =\lim_{x\to0^+} -\frac{19}{2} (0^{+})^{2-3\alpha} \)
e quindi pongo \(\displaystyle \frac{19}{2} (0^{+})^{2-3\alpha} = 0 \)
domanda
: \(\displaystyle 0^0 = 0 \) , ma l'espressione \(\displaystyle 0^n \) non perde di significato?
se ti fermi solo al secondo ordine non capisco come possa essere arrivata al stesso risultato .. in ogni caso alla fine non puoi fare quella sostituzione, perchè a seconda che il valore di $2-3\alpha$ sia maggiore minore o uguale a zero, la frazione cambia e quindi il limite cambia ...
viene perché al numeratore resta \(\displaystyle (- 9/2 - 9/2 - 1/2 )x^2 = (-19/2)x^2 \)
e al denominatore come te \(\displaystyle x^{3\alpha} \)
sei tu che hai il \(\displaystyle -(27/2) x^3 \) che non so dove è finito nella somma ...
per la conclusione, hai ragione, non si può sostituire come ho fatto io.
Grazie
e al denominatore come te \(\displaystyle x^{3\alpha} \)
sei tu che hai il \(\displaystyle -(27/2) x^3 \) che non so dove è finito nella somma ...
per la conclusione, hai ragione, non si può sostituire come ho fatto io.
Grazie
"*Ely":
domanda
Forse questa sotto è una dimostrazione valida:
\(\displaystyle 0^0=(a-a)^{b-b}=\frac{(a-a)^b}{(a-a)^b}=1\)
Il caso di un numero elevato a potenza 0 è fuori dalla definizione di potenza, perde di significato nella definizione e con quella convenzione un significato gli e lo diamo noi, comunque $0^n$ ha significato nella definizione infatti in questo caso moltiplichi 0 per n volte che fa 0.
No, ho sbagliato a scrivere, volevo dire \(\displaystyle 0^n=0 \) ma l'espressione \(\displaystyle 0^0 \) perde di significato!, infatti in analisi infinitesimale la chiamiamo forma indeterminata!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo