Limite con sviluppo di Taylor: dove ho sbagliato?
Buonasera a tutti.
Sul web ho trovato questo limite da risolvere con gli sviluppi di Taylor:
$ \lim_{x -> 0} {\cos^2(x) + x^2 -1}/{x^4} $
la cui soluzione è $ 1/3 $.
TENTATIVO MIO (sbagliato):
1) Sapendo che:
$ \cos (x) = 1 - {x^2}/2 + o(x^2) $ per $ x -> 0 $
trovo:
$ \cos^2 (x) = ( 1 - {x^2}/2 + o(x^2) )^2 = $
$ = 1 + {x^4}/4 + (o(x^2))^2 - x^2 + o(x^2) - x^2 o(x^2) = $
$ = 1 - x^2 + {x^4}/4 + o(x^2) $
2) Sostituendo nel limite dato:
$ \lim_{x -> 0} {1 - x^2 + {x^4}/4 + x^2 - 1 + o(x^2)}/{x^4} = \lim_{x -> 0} {{x^4}/4 + o(x^2)}/{x^4} $
3) Risulta quindi:
$ \lim_{x -> 0} {{x^4}/4 + o(x^2)}/{x^4} = 1/4 $
SOLUZIONE CORRETTA:
1) Poiché $ \sin^2 (x) + \cos^2 (x) = 1 $, allora $ \cos^2 (x) - 1 = - \sin^2 (x) $.
2) Considerando lo sviluppo McLaurin della funzione seno fino al terzo ordine ed elevandolo al quadrato, si ottiene, a conti fatti:
$ \sin^2 (x) = x^2 - {x^4}/3 + {x^6}/{(3!)^2} + o(x^4) $
3) Sostituendo nel limite dato:
$ \lim_{x -> 0} {x^2 - x^2 + {x^4}/3 - {x^6}/{(3!)^2} + o(x^4)}/{x^4} = \lim_{x -> 0} {{x^4}/3 - {x^6}/{(3!)^2} + o(x^4)}/{x^4} $
4) Risulta quindi:
$ \lim_{x -> 0} {{x^4}/3 - {x^6}/{(3!)^4} + o(x^4)}/{x^4} = \lim_{x -> 0} 1/3 {x^4}/{x^4} = 1/3 $
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Potreste dirmi dov'è il mio errore?
Sul web ho trovato questo limite da risolvere con gli sviluppi di Taylor:
$ \lim_{x -> 0} {\cos^2(x) + x^2 -1}/{x^4} $
la cui soluzione è $ 1/3 $.
TENTATIVO MIO (sbagliato):
1) Sapendo che:
$ \cos (x) = 1 - {x^2}/2 + o(x^2) $ per $ x -> 0 $
trovo:
$ \cos^2 (x) = ( 1 - {x^2}/2 + o(x^2) )^2 = $
$ = 1 + {x^4}/4 + (o(x^2))^2 - x^2 + o(x^2) - x^2 o(x^2) = $
$ = 1 - x^2 + {x^4}/4 + o(x^2) $
2) Sostituendo nel limite dato:
$ \lim_{x -> 0} {1 - x^2 + {x^4}/4 + x^2 - 1 + o(x^2)}/{x^4} = \lim_{x -> 0} {{x^4}/4 + o(x^2)}/{x^4} $
3) Risulta quindi:
$ \lim_{x -> 0} {{x^4}/4 + o(x^2)}/{x^4} = 1/4 $
SOLUZIONE CORRETTA:
1) Poiché $ \sin^2 (x) + \cos^2 (x) = 1 $, allora $ \cos^2 (x) - 1 = - \sin^2 (x) $.
2) Considerando lo sviluppo McLaurin della funzione seno fino al terzo ordine ed elevandolo al quadrato, si ottiene, a conti fatti:
$ \sin^2 (x) = x^2 - {x^4}/3 + {x^6}/{(3!)^2} + o(x^4) $
3) Sostituendo nel limite dato:
$ \lim_{x -> 0} {x^2 - x^2 + {x^4}/3 - {x^6}/{(3!)^2} + o(x^4)}/{x^4} = \lim_{x -> 0} {{x^4}/3 - {x^6}/{(3!)^2} + o(x^4)}/{x^4} $
4) Risulta quindi:
$ \lim_{x -> 0} {{x^4}/3 - {x^6}/{(3!)^4} + o(x^4)}/{x^4} = \lim_{x -> 0} 1/3 {x^4}/{x^4} = 1/3 $
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Potreste dirmi dov'è il mio errore?
Risposte
$1-x^2+x^4/4+o(x^2)$
non è corretto, l'o piccolo "mangia" $x^4$
quindi avresti solo $1-x^2$ che annulla il nominatore..
non è corretto, l'o piccolo "mangia" $x^4$
quindi avresti solo $1-x^2$ che annulla il nominatore..
Ah, OK.
Questo vuol dire che avviene qualcosa di analogo con
$ \sin^2(x) = x^2 - {x^4}/3 + {x^6}/{(3!)^2} + o(x^4) $,
con $ o(x^4) $ che ingloba $ x^6 $, giusto?
Questo vuol dire che avviene qualcosa di analogo con
$ \sin^2(x) = x^2 - {x^4}/3 + {x^6}/{(3!)^2} + o(x^4) $,
con $ o(x^4) $ che ingloba $ x^6 $, giusto?
Una osservazione sulla "soluzione corretta". Mi sembra inutile portarsi avanti il termine $x^6$ che si può benissimo inglobare in $o(x^4)$.
EDIT: eh, te lo stavo giusto scrivendo...
EDIT: eh, te lo stavo giusto scrivendo...
esatto, non può mai essere presente una potenza superiore a quella dell'o piccolo, in quanto la ingloberebbe..
"Anacleto13":
esatto, non può mai essere presente una potenza superiore a quella dell'o piccolo, in quanto la ingloberebbe..
Non è che non può... Non serve in quanto superfluo...
OK, vi ringrazio.
Saluti a tutti.
Saluti a tutti.
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