Limite con sviluppo di Taylor
Salve!
Mi trovo in difficoltà con il calcolo dei limiti attraverso lo sviluppo di Taylor...Vi posto un esercizio che ho fatto ma di cui non sono affatto convinta:
$\lim_{x \to \0}(x^2(sinx)^2sqrt(x+1))/((e^x-i)^2-log(1+x^2))$
studio il denominatore:
$(e^x-1)^"=(1+x+(x^2)/2+(x^3)/6+o(x^3)-1)^2=x^2+(7/2)(x^4)+(x^6)/36+x^3+o(x^4)$
$log(1+x^2)=x^2-(x^4)/2+o(x^4)$
studio il numeratore:
$x^2(sinx)^2=x^2(x+o(x))^2=x^2(x^2+o(x^2))=x^4+o(x^4)$
$sqrt(x+1)=1+(1/2)x+o(x)
e ottengo:
$\lim_{x \to \o}(x^4+o(x^4))/((x^3+(13/12)x^4+o(x^4))$
Posso concludere che questo limte è uguale a $12/13$?
Non riesco a capire se,fermandomi a $o(x^4)$ devo necessariamente avere al denominatore al numeratore solo termini con $x^4$...
Se così fosse,come posso riuscirci?
Ne sto facendo davvero tanti di esercizi ma non ce n'è uno dove ottengo solo ed esclusivamente termini dello stesso grado degli o piccoli!
Grazie per l'aiuto!
Mi trovo in difficoltà con il calcolo dei limiti attraverso lo sviluppo di Taylor...Vi posto un esercizio che ho fatto ma di cui non sono affatto convinta:
$\lim_{x \to \0}(x^2(sinx)^2sqrt(x+1))/((e^x-i)^2-log(1+x^2))$
studio il denominatore:
$(e^x-1)^"=(1+x+(x^2)/2+(x^3)/6+o(x^3)-1)^2=x^2+(7/2)(x^4)+(x^6)/36+x^3+o(x^4)$
$log(1+x^2)=x^2-(x^4)/2+o(x^4)$
studio il numeratore:
$x^2(sinx)^2=x^2(x+o(x))^2=x^2(x^2+o(x^2))=x^4+o(x^4)$
$sqrt(x+1)=1+(1/2)x+o(x)
e ottengo:
$\lim_{x \to \o}(x^4+o(x^4))/((x^3+(13/12)x^4+o(x^4))$
Posso concludere che questo limte è uguale a $12/13$?
Non riesco a capire se,fermandomi a $o(x^4)$ devo necessariamente avere al denominatore al numeratore solo termini con $x^4$...
Se così fosse,come posso riuscirci?
Ne sto facendo davvero tanti di esercizi ma non ce n'è uno dove ottengo solo ed esclusivamente termini dello stesso grado degli o piccoli!
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Ciao, allora, io faccio così: studio il denominatore e vedo che, sviluppandolo al quarto grado, rimangono dei termini (cioè rimane un'informazione); questo significa che sviluppare fino al quarto ordine è sufficiente. A questo punto sviluppo TUTTI i termini del numeratore al quarto grado, faccio i calcoli e vedo che il risultato è 0.
Se sviluppi al quarto grado, significa che conservi le potenze fino al quarto grado, mentre quelle di ordine superiore le puoi trascurare. Nel tuo caso, metti in evidenza $x^3$ al denominatore che cancella una parte del numeratore, e vedi che il limite vale 0.
Al denominatore non devi avere necessariamente solo potenze di grado 4. Nella maggior parte dei casi, hai solo potenze dello stesso grado al quale hai sviluppato i vari termini, cossichè la potenza al denominatore si cancella con quella al numeratore, però può comunque capitare che al denominatore hai anche potenze inferiori al grado con cui hai sviluppato; quando sei in questa situazione, basta che metti in evidenza la potenza di grado più basso al denominatore e fai delle semplificazioni, capito?
Se sviluppi al quarto grado, significa che conservi le potenze fino al quarto grado, mentre quelle di ordine superiore le puoi trascurare. Nel tuo caso, metti in evidenza $x^3$ al denominatore che cancella una parte del numeratore, e vedi che il limite vale 0.
Al denominatore non devi avere necessariamente solo potenze di grado 4. Nella maggior parte dei casi, hai solo potenze dello stesso grado al quale hai sviluppato i vari termini, cossichè la potenza al denominatore si cancella con quella al numeratore, però può comunque capitare che al denominatore hai anche potenze inferiori al grado con cui hai sviluppato; quando sei in questa situazione, basta che metti in evidenza la potenza di grado più basso al denominatore e fai delle semplificazioni, capito?
Il limite è zero, visto che si riduce a
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{x^4+o(x^4)}{x^3+o(x^3)}=\lim_{x\to 0} (x+o(x))$[/tex]
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{x^4+o(x^4)}{x^3+o(x^3)}=\lim_{x\to 0} (x+o(x))$[/tex]
"ciampax":
Il limite è zero, visto che si riduce a
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{x^4+o(x^4)}{x^3+o(x^3)}=\lim_{x\to 0} (x+o(x))$[/tex]
ciampax, non si potrebbe mettere in evidenza quell'x al cubo al denominatore?
Soscia,ma sviluppando anche tutti i termini al numeratore fino al quarto grado,non rischio di ottenere (attraverso moltiplicazioni varie) degli o piccoli di grado maggiore di quello che ho al denominatore?
"ImpaButty":
Soscia,ma sviluppando anche tutti i termini al numeratore fino al quarto grado,non rischio di ottenere (attraverso moltiplicazioni varie) degli o piccoli di grado maggiore di quello che ho al denominatore?
Allora, io l'ho risolto questo esercizio, e, sviluppando tutto al quarto grado, effettivamente ho ottenuto molte potenze di grado superiore al quarto, che ho trascurato: insomma, ho fatto del lavoro in più. Però, visto che di esercizi sui limiti ne ho fatto davvero tanti, per esperienza ti consiglio che, se intendi sviluppare a un certo grado, poi devi sviluppare tutti i termini a quel grado, anche se moltiplicando ti sembra che basti uno sviluppo di grado inferiore; in questo modo stai sicuro che non trascuri termini che invece avresti dovuto considerare. In alcuni esercizi sbvagliavo perchè, anzichè sviluppare alcuni termini ad un certo grado, vedendo che attraverso moltiplicazioni varie potevo raggiungere comunque il grado considerato utilizzando sviluppi con ordine inferiore, sviluppavo alcuni termini ad un grado, ed altri ad un altro, trascurando così dei fattori importanti per il risultato finale.
@ Soscia: infatti è proprio quello che ho fatto, se ci pensi su un secondo! 
"ciampax":
@ Soscia: infatti è proprio quello che ho fatto, se ci pensi su un secondo!
già, hai ragione!
soscia,grazie per i consigli,proverò a risolvere i limiti sviluppando tutto allo stesso ordine e...vediamo che succede! 
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