Limite con sviluppo di Taylor

[emmeffe90]

Salve a tutti.
Ho il seguente limite, che mi sta portando rapidamente alla pazzia, da risolvere usando gli sviluppi di Taylor:
$lim_(x->+oo)(log(e^(2x)-e^x)-2x)/sin(1/x^2)$.
Ho provato a svolgerlo parecchie volte, ma ottengo sempre $+oo$, mentre il risultato è 0.
Consigli?

[strangolatoremancino]

Ti consiglio di riscrivere $2x=loge^(2x)$ e applicare le proprietà dei logaritmi; poi ti basta scrivere un paio di relazioni di asintotico per concludere, se non sbaglio.

Se invece preferisci usare Taylor, raccogli un esponenziale nel logaritmo, applichi un'altra proprietà dei suddetti e dovresti avere quasi tutto pronto.

[emmeffe90]

"strangolatoremancino":Se invece preferisci usare Taylor, raccogli un esponenziale nel logaritmo, applichi un'altra proprietà dei suddetti e dovresti avere quasi tutto pronto.

Non è che io preferisca usare Taylor, devo usarlo essendo un esercizio sul polinomio di Taylor.
Ho già provato a fare come dici, così: $lim_(x->+oo)log(1-1/e^x)/sin(1/x^2)$ (almeno credo che sia questo ciò che suggerisci).
Però continuo ad avere sempre $+oo$ anziché zero.
Riproverò...magari sbaglio qualche calcolo...

[emmeffe90]

Dopo un po' di fatica (8-)) sono riuscito a risolvere il limite di prima.
Ma ecco che mi si para dinanzi un nuovo ostacolo, che è il seguente:
$lim_(x->1)log x/(2^x-2)$, da risolvere ancora con Taylor. Il risultato dovrebbe essere $1/(2log2)$.
Questo è ciò che ho provato a fare: ho sviluppato il numeratore con il polinomio di secondo grado, così: $log x=x-1+(x-1)^2/2+o(x^2)=(x^2-1)/2$, e il denominatore così: $2^x-2=2e^log(2^(x-1))-2$ e poi svolgendo qualche calcolo arrivo a $2^(2x-2)-1+o(2^(2x-2))$, ma il limite continua ad essere una forma indeterminata del tipo "$0/0$".
Avete dei suggerimenti?
Ho anche provato a visualizzare la funzione con Geogebra...non so se ho sbagliato a scriverla, ma mi disegna una funzione continua, che comunque, per x vicino a 1, non è affatto vicina a $1/(2log2)$.

[blackbishop13]

trasforma $lim_(x to 1) (lnx)/(2^x-2)$ in $lim_(x to 0) ln(1+x)/(2^(x+1)-2)$

che diventa, raccogliendo un $2$ al denominatore $1/2 *lim_(x to 0) ln(1+x)/(2^x-1)$

che ora è semplice.

[bradipivolo]

per comodità ometto il simbolo di limite
$(log(e^(2x)-e^x)-2x)/sin(1/x^2)$ = $(log(e^x(e^x-1))-2x)/sin(1/x^2)$ = $(loge^x+log(e^x-1)-2x)/sin(1/x^2)$ ~ $(-x+log(e^x-1))/(1/x^2)$ ~ $(-x+loge^x+log(1-1/(e^x)))/(1/x^2)$ ~ $-x^2/e^x$ ---> 0

spero di essere stato chiaro



EDIT: mi sono reso conto troppo tardi che l'avevi già risolto

[emmeffe90]

Vi ringrazio per i suggerimenti
Con un altro po' di fatica sono riuscito a risolvere anche il secondo limite (per la cronaca: ho sviluppato il numeratore fino al seconso grado come sopra; il denominatore l'ho prima reso $2^x-2=2(e^log(2^(x-1))-1)$ per poi svilupparlo fino al primo grado così: $ 2(e^log(2^(x-1))-1)=2(x-1)log2+o(x-1)$, e poi svolgendo i calcoli ottengo il risultato cercato).
Un ultimo dubbio: vi chiedo di controllare se è corretto quanto segue (ometto qualche passaggio):
$lim_(x->pi/2)(senx)^(1/cos(x)^2)=lim_(x->pi/2)e^(1/cos(x)^2logsenx)=lim_(x->pi/2)e^(1/cos(x)^2*(senx-1+(senx-1)^2/2+o(sen(x)^2))=lim_(x->pi/2)e^(1/cos(x)^2(-cos(x)^2+o(cos(x)^2))$=$e^(-1/2)$