Limite con sviluppo di Taylor

[darakum]

Ciao a tutti,chi si sa aiutare con questo limite? Non so se l'ho fatto bene,devo sostituire i valori con i vari sviluppi di taylor.

$lim x->0+ (arctan(4x)-2x^3+1-cos(2x))/(sen(x^3)-x^2+e^x)$

Ho pensato di apprissimare tutto al primo termine pertanto:

$sen(x^3)= x^3 +o(x^3) ;

e^x = 1 + o(x) ;
arctan(4x)= 4x+o(x) ;
cos(2x)= 1 + o(x) ; $

Il limite mi viene quindi:

$(4x+o(x)-2x^3+1-1+o(x) ) /(x^3+o(x^3)-x^2+1+o(x) ) $

Applico quindi l'algebra degli o piccoli e mi trovo:

$(4x+o(x)+1-1+o(x) ) /(1+o(x) ) $

$(4x+o(x) ) /(1+o(x) ) = 4 $

E' giusto come cosa?

[francicko]

$lim_(x->0)(4x+o(x))/(1+o(x)) $ $=lim_(x->0)4x/1$ $=lim_(x->0)4x=4×0=0$.
Avendo indicato con $o (x) $ gli infinitesimi di grado superiore ad $x $, e quindi trascurabili rispettivamente sia nella somma a numeratore che a denominatore.
Gli sviluppi di taylor arrestati al primo termine(=asintotici), che hai usato sono corretti, solo che $1+o (x)~1$

[taurus85]

ad occhio non sembra una forma indeterminata, il denominatore tende a 1, quindi il limite è 0.....

[francicko]

x@taurus85.
Hai ragione, non e' nemmeno un forma indeterminata, secondo me il denominatore deve essere $sin (x^3)-x^2+e^x-1) $ in modo che si ha una forma indeterminata, ed il limite viene $4$

[taurus85]

secondo me è sufficiente applicare i limiti notevoli e gli infinitesimi, arctg(4x) $=$ 4x , 1-cos(2x) $=$ 2x^2 , sen(x^3) $=$ x^3 , e^x-1 $=$ x, quindi ottieni ( 4x - 2x^3+1-1 + 2x^2)/( x^3-x^2+x) applicando gli infinitesimi ( 4x - 2x^3+1-1 + 2x^2)/( x^3-x^2+x) $=$ 4x/x=4