Limite con sviluppo di taylor

[sam17091]

Ciao ragazzi, avendo questo limite:
$ lim_(x -> 0+) (x^(7/2)log^2x-1+senx^2+cos(1-e^(sqrt(2)x)))/(senhx-x^a) $
Come faccio a capire prima di cimentarmi con gli sviluppi di taylor che $ x^(7/2)log^2x-1 $ è o piccolo di $ x^3 $ e quindi va tralasciato?
(ora lo so perchè ho lo svolgimento già fatto, ma senza non penso ci sarei arrivato).

E' perchè se vado a sostituire al posto della x lo zero in $ x^(7/2)log^2x-1 $, si annulla?

[Rigel1]

"sam1709":Ciao ragazzi, avendo questo limite:
$ lim_(x -> 0+) (x^(7/2)log^2x-1+senx^2+cos(1-e^(sqrt(2)x)))/(senhx-x^a) $
Come faccio a capire prima di cimentarmi con gli sviluppi di taylor che $ x^(7/2)log^2x-1 $ è o piccolo di $ x^3 $ e quindi va tralasciato?

In realtà non lo puoi capire, perché è sbagliato.
Ciò che è vero è che, ad esempio, \(x^{7/2} \log^2 x\) è \(o(x^3)\).
Il \(-1\) va ad annullare la parte principale del coseno.

[sam17091]

Ma come faccio a capire che è un o piccolo di x alla terza? e quindi che non devo svilupparlo con taylor?

[Rigel1]

Per ogni \(\epsilon > 0\) hai che \(x^{7/2} \log^2 x = x^{7/2-\epsilon}\cdot (x^\epsilon \log^2 x)\).
Poiché \(x^\epsilon \log^2 x \to 0\) per \(x\to 0^+\), per definizione segue che \(x^{7/2} \log^2 x\) è \(o(x^{7/2-\epsilon})\).
In particolare, scegliendo \(\epsilon = 1/2\), si ottiene \(o(x^3)\).

Detto in parole povere: è vero che \(\log^2 x \to +\infty\) per \(x\to 0^+\), ma è un infinito che ti "mangi" usando una potenza piccola a piacere di \(x\).