Limite con sviluppo di Taylor
Buonasera, ho dei dubbi su un limite che si sviluppa con Taylor. Il limite in questione è $lim_(x -> 0) (log(1+2senx)(x-arctanx))/((1+cosx)(e^x-1-x)^2)$.
1) Lo sviluppo di Taylor per il log è $2senx-2sen^2x$?
2) come capisco l'ordine dello sviluppo a cui fermarmi?
Grazie
1) Lo sviluppo di Taylor per il log è $2senx-2sen^2x$?
2) come capisco l'ordine dello sviluppo a cui fermarmi?
Grazie
Risposte
Intanto osservando che $log (1+2x)~2x$, ed $cos0=1$,sostituendo possiamo riscrivere il limite nella forma equivalente $lim_(x->0)(2x×(x-arctanx))/(2×(e^x-1-x)^2)$, adesso abbiamo sia a numeratore che a denominatore una differenza di infinitesimi, usando taylor avremo $lim_(x->0)(2x×(x-x+x^3/3-o (x^5)))/(2×(1+x+x^2/2+o(x^3)-1-x)^2)=lim_(x->0)(2x×(x^3/3))/(2×(x^2/2)^2)=lim_(x->0)(2x^4/3)/(2×(x^4/4))=lim_(x->0)(x^4/3)×(4/x^4)=4/3$
ok, perfetto e per quanto riguarda il secondo punto?
però aspetta perchè il logaritmo è asintotico a 2x? e non a 2senx?
$sinx~x$, quindi $2×sinx~2×x$☺
ok grazie
e come faccio a capire quando fermarmi con lo sviluppo?
Per quanto riguarda il punto 2), bisogna arrestarsi al primo termine utile, cioe' quello che non viene ad eludersi nella differenza di infinitesimi, nel nostro caso a numeratore e' il termine $x^3/3$, ed a denominatore il termine $x^2/2$.
ok come pensavo. Invece in un altro esercizio ho dubbi su due termini.
1) $log(1+cosx)$ e quindi asintotico a $cosx$ e teoricamente dovevo sviluppare il cos secondo taylor ma risulta errato
2) $log(1-3senx)$ non è asintotico a $3senx$ e quindi a $3x$ vero? allora devo sviluppare il log secondo taylor tenendo conto che $x =3senx$?
1) $log(1+cosx)$ e quindi asintotico a $cosx$ e teoricamente dovevo sviluppare il cos secondo taylor ma risulta errato
2) $log(1-3senx)$ non è asintotico a $3senx$ e quindi a $3x$ vero? allora devo sviluppare il log secondo taylor tenendo conto che $x =3senx$?
1) Per $x->0$, si ha $log (1+f(x))~f(x)$, se e solo se $lim_(x->0)f (x)=0$, nel caso $log (1+cosx)$, $lim_(x->0)cosx=cos0=1$, diverso da zero, quindi $log (1+cos0)=log2$.
2) L'asintotico corrisponde al primo termine in $x $ dello sviluppo in serie di taylor, pertanto e' vero che, essendo $sin(3x)~3x$, risulta, $log (1-sin (3x))~log (1-3x)~-3x$, ma i termini successivi dello sviluppo in serie di taylor risultano differenti, infatti:
$log (1-sin (3x))=-3x-9x^2/2-9x^3/2-o (x^4)$ ed,
$log (1-3x) =-3x-9x^2/2-9x^3-o (x^4)$
Quindi nello sviluppo di taylor devi tenere conto che $f (x)=-sin (3x) $; Spero che sia chiaro.
Prova a postare comunque qui l'esercizio, così se ne può discutere.
Saluti!
2) L'asintotico corrisponde al primo termine in $x $ dello sviluppo in serie di taylor, pertanto e' vero che, essendo $sin(3x)~3x$, risulta, $log (1-sin (3x))~log (1-3x)~-3x$, ma i termini successivi dello sviluppo in serie di taylor risultano differenti, infatti:
$log (1-sin (3x))=-3x-9x^2/2-9x^3/2-o (x^4)$ ed,
$log (1-3x) =-3x-9x^2/2-9x^3-o (x^4)$
Quindi nello sviluppo di taylor devi tenere conto che $f (x)=-sin (3x) $; Spero che sia chiaro.
Prova a postare comunque qui l'esercizio, così se ne può discutere.
Saluti!
quindi è corretto sviluppare taylor di $log(1-3x)$. io pensavo che $log(1+an)$ fosse asintotico ad $an$ solo in caso di somma tra 1 e an e non di una sottrazione come nel caso precedente.
Ripeto:
Ripeto: $log(1+(-sin(3x)))~-sin(3x)~-3x$ e $log(1+(-3x))~(-3x)$, però $log (1+(-sin (3x)))$, ed $log (1+(-3x))$, hanno sviluppi in serie di taylor in cui il primo termine in $x $ dello sviluppo sicuramente coincidera e sara $-3x$ in quanto corrisponde all'asintotico, ma successivamente nello sviluppo avremo dei termini differenti, che non coincideranno.