Limite con Sviluppi di Taylor
Salve, riporto un limite con Taylor che ho trovato nell'esame di oggi di Analisi Matematica 1. $\lim_{x \to \infty}x^2(e^(1/x)-sen((\pix+2)/(2x))-log((x+1)/x))$ . Dopo averlo svolto mi usciva $x^2(1/(2x^2)+1/(2x^2))$ ovvero $1$ ma il risultato era sbagliato. Qualcuno potrebbe aiutarmi ?
Risposte
Ciao davide.fede,
Trascurando gli $o$ l'avrei risolto così:
$ \lim_{x \to +\infty}x^2(e^(1/x)-sin((\pix+2)/(2x))-log((x+1)/x)) = $
$ = \lim_{x \to +\infty}x^2[e^(1/x)-sin(\pi/2 + 1/x)-log(1 + 1/x)] = $
$ = \lim_{x \to +\infty}x^2[e^(1/x)-cos(1/x)-log(1 + 1/x)] = $
$ = \lim_{x \to +\infty}x^2[1 + 1/x + 1/(2x^2) - 1 + 1/(2x^2)-1/x + 1/(2x^2)] = \lim_{x \to +\infty}x^2[3/(2x^2)] = 3/2 $
Trascurando gli $o$ l'avrei risolto così:
$ \lim_{x \to +\infty}x^2(e^(1/x)-sin((\pix+2)/(2x))-log((x+1)/x)) = $
$ = \lim_{x \to +\infty}x^2[e^(1/x)-sin(\pi/2 + 1/x)-log(1 + 1/x)] = $
$ = \lim_{x \to +\infty}x^2[e^(1/x)-cos(1/x)-log(1 + 1/x)] = $
$ = \lim_{x \to +\infty}x^2[1 + 1/x + 1/(2x^2) - 1 + 1/(2x^2)-1/x + 1/(2x^2)] = \lim_{x \to +\infty}x^2[3/(2x^2)] = 3/2 $
Come hai fatto a passare da $sin(\pi/2+1/x)$ a $cos(1/x)$ ?
Si tratta di ben note relazioni trigonometriche...
Comunque per convincertene basta che fai uso dell'altrettanto ben nota formula di addizione $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta $
con $\alpha := \pi/2 $ e $\beta := 1/x $
Comunque per convincertene basta che fai uso dell'altrettanto ben nota formula di addizione $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta $
con $\alpha := \pi/2 $ e $\beta := 1/x $
grazie mille
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