Limite con sviluppi di Taylor

[giuseppeferrara96]

Salve a tutti!, Esercitandomi ho provato a calcolare questo limite,
$ lim _(x->0 )(2cos(e^x-1)+sin(x^2+x^3)-2)/x^4 $
ho provato ad usare gli sviluppi di taylor al 4 ordine, ma non mi trovo con il risultato che dovrebbe essere -1/2... con i limiti notevoli non dovrebbe funzionare vista la presenza di somme... Mi affido a voi! A me esce -7/12 come risultato...
Se poteste spiegarmi anche qualche regola per poi sviluppo di taylor di funzioni composte grazie!!

[ostrogoto1]

devi sviluppare il coseno considerando il termine al terzo ordine perche' ti serve x^4!! (terzo passaggio sotto)
P.s. ho scritto malamente per sottolineare questa necessita', riscrivi meglio i conti con gli o piccoli in quel passaggio



$ (2cos(e^x-1)+sin(x^2+x^3)-2)/x^4=(2cos(x+x^2/2+x^3/6+o(x^3))+(x^2+x^3+o(x^5))-2)/x^4=(2(1-(x+x^2/2+x^3/6+o(x^3))^2/2+(x+x^2/2+X^3/6+o(x^3))^4/24+...)+x^2+x^3+o(x^5)-2)/x^4=(2(1-x^2/2-x^3/4-x^4/12-x^3/4-x^4/8-x^4/12+x^4/24+o(x^4))+x^2+x^3+o(x^5)-2)/x^4= -1/2+... $

[giuseppeferrara96]

"ostrogoto":devi sviluppare il coseno considerando il termine al terzo ordine perche' ti serve x^4!! (terzo passaggio sotto)
P.s. ho scritto malamente per sottolineare questa necessita', riscrivi meglio i conti con gli o piccoli in quel passaggio



$ (2cos(e^x-1)+sin(x^2+x^3)-2)/x^4=(2cos(x+x^2/2+x^3/6+o(x^3))+(x^2+x^3+o(x^5))-2)/x^4=(2(1-(x+x^2/2+x^3/6+o(x^3))^2/2+(x+x^2/2+X^3/6+o(x^3))^4/24+...)+x^2+x^3+o(x^5)-2)/x^4=(2(1-x^2/2-x^3/4-x^4/12-x^3/4-x^4/8-x^4/12+x^4/24+o(x^4))+x^2+x^3+o(x^5)-2)/x^4= -1/2+... $

Grazie mille!!! avevo trascurato quell'ultimo termine!!!