Limite con sviluppi di Taylor

[AmarildoA]

Salve ragazzi,
sto avendo problemi con il seguente limite:
$$\lim _{x\to 0}\left(\frac{x\left(\sqrt{3e^x+e^{3x^2}}-2\right)}{4-\left(cosx+1\right)^2}\right)$$
Ho provato a sviluppare gli esponenziali e il coseno nel seguente modo:
$$=\lim _{x\to 0}\left(\frac{x\left(\sqrt{3+3x+\frac{x^3+3x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+1+3x^2+\frac{9x^4}{2}}-2\right)}{4-\left(-\frac{x^2}{2}+2\right)^2}\right)=\lim _{x\to 0}\left(\frac{x\left(\sqrt{3+3x+\frac{x^3+3x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+1+3x^2+\frac{9x^4}{2}}-2\right)}{-\frac{x^4}{4}-2x^2+8}\right)$$
Solo che adesso non so più come procedere, potreste mostrarmi una come portare al termine il seguente limite(senza l'uso di L'Hopital)? Grazie

[francicko]

Gli sviluppi che hai eseguito sono corretti, in definitiva servono solo gli sviluppi di taylor arrestati al primo termine, cio' equivale ad usare gli sintotici;
$lim_(x->0)x (sqrt(4+3x+o(x))-2)/(4-(2-x^2/2+o (x^2))^2)$ $=lim_(x->0)(x (2+(3/4)x+o (x)-2))/(4-4+4x^2/2+o (x^2)) $ $=lim_(x->0)(3/4x^2+o (x^2))/(2x^2+o (x^2)) $ $=lim_(x->0)(3/4)x^2/(2x^2) =3/8$

[AmarildoA]

Grazie mille, solo una cosa però, non mi è chiaro se hai sviluppato anche la radice?
perchè non capisco da dove esca $3/4$
Grazie

[francicko]

Sì esatto ho sviluppato successivamente il termine $sqrt (4+3x)$ che risulta così asintotico ad $(2+(3/4)x) $;