Limite con sviluppi di McLaurin

[Barberofan]

Ciao, ho bisogno di capire cosa c'è che non va nel modo in cui provo a risolvere questo limite con gli sviluppi di McLaurin

$ lim(x->1) ((x+2)/(x-1) - (3/logx)) $

prima ho riordinato i termini ottenendo

$ lim(x->1) ((((x+2)logx - (3(x-1)))/((x-1)logx)) $

e poi ho semplicemente sviluppato i logx a numeratore e denominatore al secondo ordine ottenendo
due polinomi di secondo grado

$ lim(x->1) ((x^2 -(1/2)x +o(x2)))/((5/2)x^2 -(7/2)x + 3/2 + o(x^2)) $

Il problema è che, sostituendo, questo limite sputa 1, mentre il risultato dovrebbe essere -1/2.

[Palliit]

A me sembra che per $x to 1$ i termini $o(x^2)$ e compagnia bella non significhino granchè di utile e soprattutto non possano essere trascurati. Direi che prima ti conviene una sostituzione del tipo $x=1+t$ e poi sviluppare quello che ti pare per $t to 0$. Almeno così mi pare guardando al volo.

[Barberofan]

Ok, penso di aver fatto progressi, ma mi sono bloccato di nuovo. Riporto l'ultimo passaggio...

$ lim(x->1) (x+2)((1-((x-1)/(2))+((x-1)^2)/3 +o((x-1)^2)]-3)/[(x-1)(1-(x-1)/2 +(x-1)^2 /3 +o((x-1)^2) $

[Barberofan]

quella quadra dovrebbe essere tonda, non me lo fa correggere.

[francicko]

Segui il consiglio di@Pallit, altrimenti non ne vieni a capo, primo devi fare una semplice sostituzione di variabile porre $t=(x-1) $, il tuo limite diventa $lim_(t->0)((t+3)log (1+t)-3t)/(tlog(1+t) $ $=lim_(t->0)((t+3)log(1+t)-3t)/t^2$ , perché a denominatore $log(1+t)~~t $ cioè $log (1+t)=t+o(t)$,
a questo punto per eliminare definitivamente la forma indeterminata $0/0$, puoi ricorrere ad Hopital od applicare lo sviluppo in serie a numeratore al termine $log (1+t) =t-t^2/2+o(t^2) $, lo sviluppo sino al termine di ordine due è sufficiente visto che al denominatore abbiamo solo un il termine $t^2$ egiungere facilmente al risultato.

[Barberofan]

Grazie mille!

[francicko]

Se sostituisci e fai i calcoli il risultato dovrebbe essere $-1/2$, prova.