Limite con sviluppi
Salve a tutti, per qualche motivo che al momento mi sfugge non riesco a risolvere il seguente limite:
$lim_(x->+infty) x[2+x^2sin(1/x)-sqrt(x^2+4x+5)]$
$lim_(x->+infty) x[2+x^2sin(1/x)-|x|sqrt(1+4/x+5/x^2)]$
Per $x->+infty$, $sin(1/x)\sim 1/x-1/(6x^3)$ e siccome sto valutando il limite per $x->+infty$ libero la $x$ dal valore assoluto:
$lim_(x->+infty) x[2+x^2(1/x-1/(6x^3))-xsqrt(1+4/x+5/x^2)]$
Per $x->+infty$, $sqrt(1+4/x+5/x^2)\sim 1+1/2(4/x+5/x^2)$
$lim_(x->+infty) x[2+x-1/(6x)-x(1+2/x+5/(2x^2))]$
$lim_(x->+infty) x[2+x-1/(6x)-x-2-5/(2x)]$
$lim_(x->+infty) -1/6-5/2=-8/3$
Il risultato è sbagliato e dovrebbe essere $-2/3$ ma non riesco a trovare l'errore.. Potreste darmi una mano?
$lim_(x->+infty) x[2+x^2sin(1/x)-sqrt(x^2+4x+5)]$
$lim_(x->+infty) x[2+x^2sin(1/x)-|x|sqrt(1+4/x+5/x^2)]$
Per $x->+infty$, $sin(1/x)\sim 1/x-1/(6x^3)$ e siccome sto valutando il limite per $x->+infty$ libero la $x$ dal valore assoluto:
$lim_(x->+infty) x[2+x^2(1/x-1/(6x^3))-xsqrt(1+4/x+5/x^2)]$
Per $x->+infty$, $sqrt(1+4/x+5/x^2)\sim 1+1/2(4/x+5/x^2)$
$lim_(x->+infty) x[2+x-1/(6x)-x(1+2/x+5/(2x^2))]$
$lim_(x->+infty) x[2+x-1/(6x)-x-2-5/(2x)]$
$lim_(x->+infty) -1/6-5/2=-8/3$
Il risultato è sbagliato e dovrebbe essere $-2/3$ ma non riesco a trovare l'errore.. Potreste darmi una mano?
Risposte
Il problema sta nello sviluppo della radice:
$\sqrt{1+(4/x+5/x^2)}=1+1/2(4/x+5/x^2)-1/4(4/x+5/x^2)^2+o((4/x+5/x^2)^2)=$
$=1+2/x+5/{2x^2}-4/x^2+o(1/x^2)=1+2/x-3/{2x^2}+o(1/x^2)$
Avevi perso un termine di secondo grado.
$\sqrt{1+(4/x+5/x^2)}=1+1/2(4/x+5/x^2)-1/4(4/x+5/x^2)^2+o((4/x+5/x^2)^2)=$
$=1+2/x+5/{2x^2}-4/x^2+o(1/x^2)=1+2/x-3/{2x^2}+o(1/x^2)$
Avevi perso un termine di secondo grado.
Grazie, ucciderò Taylor, Maclaurin e Landau nel sonno un giorno 
"Obidream":
Grazie, ucciderò Taylor, Maclaurin e Landau nel sonno un giorno
Son già morti... più probabile vengano loro a popolare i tuoi incubi (e ad ucciderti in stile Freddy Krueger)!
"ciampax":
[quote="Obidream"]Grazie, ucciderò Taylor, Maclaurin e Landau nel sonno un giorno
Son già morti... più probabile vengano loro a popolare i tuoi incubi (e ad ucciderti in stile Freddy Krueger)![/quote]
Sono anche già decomposti da qualche giorno credo
Spero di farli sparire al massimo entro Settembre se tutto va bene 
"ciampax":
Il problema sta nello sviluppo della radice:
$\sqrt{1+(4/x+5/x^2)}=1+1/2(4/x+5/x^2)-1/4(4/x+5/x^2)^2+o((4/x+5/x^2)^2)=$
$=1+2/x+5/{2x^2}-4/x^2+o(1/x^2)=1+2/x-3/{2x^2}+o(1/x^2)$
Avevi perso un termine di secondo grado.
Però c'è qualcosa che non ho capito... Non dovrebbe essere così?
$sqrt(1+4/x+5/x^2)$
Pongo $t=4/x+5/x^2$ e per $x->+infty$, $t->0$
$sqrt(1+t)=1+1/2t-1/8t^2+o(t^2)$
$sqrt(1+4/x+5/x^2)=1+1/2(4/x+5/x^2)-1/8[4/x+5/x^2+o(4/x+5/x^2)]^2$
$sqrt(1+4/x+5/x^2)=1+2/x+5/(2x^2)-1/8[16/x^2+o(1/x^2)]$
$sqrt(1+4/x+5/x^2)=1+2/x+5/(2x^2)-2/x^2+o(1/x^2)$
$sqrt(1+4/x+5/x^2)=1+2/x+1/(2x^2)+o(1/x^2)$
Ah sì, è $-1/8$ il coefficiente. Scusa, facevo a mente!
"ciampax":
Ah sì, è $-1/8$ il coefficiente. Scusa, facevo a mente!
Figurati
L'importante era capire l'errore che c'era dietro il mio sviluppo, i conti poi si aggiustano
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