Limite con rapporto di logaritmi esponenziali

[guasta69]

Carissimi, ho questo limite:
$ lim_(x -> 0+) ln (x^x+1-cosx)/lnx^x $
Riconoscendo che si tratta di una forma indeterminata 0/0 ho provato a ricondurmi al limite notevole $ lim_(x -> 0) ln(1+x)/x=1 $ però ho riscontrato difficoltà per la presenza del logaritmo al denominatore.
Grazie in anticipo per qualsiasi idea e suggerimento per risolverlo

[Antimius]

Devi identificare quale parte dentro la parentesi tende a zero per usare quel limite notevole. In questo caso è $x^x- \cos x$.
Allora puoi scrivere,
$$\frac{\ln (1 + x^x - \cos x)}{ x^x - \cos x} \frac{x^x - \cos x}{ \ln x^x}$$
La prima frazione tende a $1$, quindi basta sistemare la seconda, che è uguale a:
$\frac{e^{x \ln x} - \cos x}{x \ln x}$. E questo ci ricorda un altro limite notevole. Per poterlo utilizzare aggiungo e sottraggo $1$:
$$\frac{e^{x \ln x} - 1}{x \ln x} + \frac{1 - \cos x}{x \ln x}$$
Da qui dovresti saper concludere

[guasta69]

grazie per il suggerimento, il problema è che mi sono bloccato nuovamente.
ho moltiplicato e diviso per x per sfruttare il limite notevole $ (1-cosx)/x^2=1/2 $ .
Al che ho $ (e^(xlnx)-1)/(xlnx)+(1-cosx)/x^2*x/lnx $
La prima frazione tende a 1, la seconda a 1/2 per il limite notevole del coseno però non so come andare avanti con la terza e se ho fatto bene ad usare il limite notevole del coseno anche se non vedo alternative.

[Antimius]

E' corretto. Basta osservare che $x \to 0$ e $\ln x \to -\infty$ quindi $\frac{x}{\ln x} \to 0$

[guasta69]

me ne sono accorto proprio adesso, quindi il limite è uguale ad 1.
Grazie mille ancora

[Antimius]

Figurati