Limite con radice cubica
Ciao a tutti!
Non riesco a calcolare il seguente limite (che so essere abbastanza semplice)
lim x---->+oo (x(^2)+x)^(1/3)
Potrei dire che faccia +oo ma vorrei capire come in generale si calcola un limite con radice (in questo caso cubica)-
Grazie mille!
Non riesco a calcolare il seguente limite (che so essere abbastanza semplice)
lim x---->+oo (x(^2)+x)^(1/3)
Potrei dire che faccia +oo ma vorrei capire come in generale si calcola un limite con radice (in questo caso cubica)-
Grazie mille!
Risposte
Come in tutti i limiti all'infinito, lo slogan è: raccogli chi domina!
Detto brutalmente: si raccoglie, se $x\to +\infty$, ciò che va a infinito "più velocemente".
Nel nostro caso (un polinomio), si raccolgono le potenze maggiori. Perciò
$$\lim_{x\to +\infty} \left(x^2+x \right)^{\frac{1}{3}}=\lim_{x\to +\infty} \left[x^2 \left(1+\frac{x}{x^2}\right) \right]^{\frac{1}{3}}=\lim_{x\to +\infty} \left[x^2 \left(1+\frac{1}{x} \right) \right]^{\frac{1}{3}}=\lim_{x\to +\infty} x^{\frac{2}{3}} \left(1+\frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{3}}$$
Passando al limite la quantità $\frac{1}{x}$ tende a $0$ per $x\to +\infty$, perciò $\left(1+\frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{3}}$ tende a $1$; allo stesso tempo rimane un $x^{\frac{2}{3}$ che tende a $+\infty$ e dunque il limite è $+\infty$.
Ci tengo a specificare che non si passa al limite a pezzi, ossia non si mandano al limite a piacimento alcune variabili $x$ lasciando altre variabili $x$ non passate al limite in giro: nell'ultimo passaggio, con "allo stesso tempo", intendo proprio che $x$ viene fatta tendere a $+\infty$ in entrambe le quantità $x^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{1}{x}$ simultaneamente.
Lo esterno per evitare che il passaggio
venga male interpretato e si pensi che si sia passato al limite a pezzi: è un errore comune che confonde molti.
Aggiungo una spiegazione un po' più rigorosa che magari può esserti utile per capire meglio questi processi.
Essendo la radice cubica una funzione continua, dalla definizione di continuità puoi dedurre che
$$\lim_{x\to +\infty} (x^2+x)^{\frac{1}{3}}=\left[\lim_{x\to +\infty} \left(x^2+x\right) \right]^{\frac{1}{3}}$$
Ora puoi procedere come prima per ottenere, naturalmente, lo stesso risultato.
Questo vale per ogni funzione continua, quindi ogni volta che avrai dubbi su limiti con roba dentro a delle funzioni sappi che, sotto ipotesi di continuità delle stesse, puoi agire così.
Detto brutalmente: si raccoglie, se $x\to +\infty$, ciò che va a infinito "più velocemente".
Nel nostro caso (un polinomio), si raccolgono le potenze maggiori. Perciò
$$\lim_{x\to +\infty} \left(x^2+x \right)^{\frac{1}{3}}=\lim_{x\to +\infty} \left[x^2 \left(1+\frac{x}{x^2}\right) \right]^{\frac{1}{3}}=\lim_{x\to +\infty} \left[x^2 \left(1+\frac{1}{x} \right) \right]^{\frac{1}{3}}=\lim_{x\to +\infty} x^{\frac{2}{3}} \left(1+\frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{3}}$$
Passando al limite la quantità $\frac{1}{x}$ tende a $0$ per $x\to +\infty$, perciò $\left(1+\frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{3}}$ tende a $1$; allo stesso tempo rimane un $x^{\frac{2}{3}$ che tende a $+\infty$ e dunque il limite è $+\infty$.
Ci tengo a specificare che non si passa al limite a pezzi, ossia non si mandano al limite a piacimento alcune variabili $x$ lasciando altre variabili $x$ non passate al limite in giro: nell'ultimo passaggio, con "allo stesso tempo", intendo proprio che $x$ viene fatta tendere a $+\infty$ in entrambe le quantità $x^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{1}{x}$ simultaneamente.
Lo esterno per evitare che il passaggio
Passando al limite la quantità $\frac{1}{x}$ tende a $0$ per $x\to +\infty$, perciò $\left(1+\frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{3}}$ tende a $1$; allo stesso tempo rimane un $x^{\frac{2}{3}$ che tende a $+\infty$ e dunque il limite è $+\infty$.
venga male interpretato e si pensi che si sia passato al limite a pezzi: è un errore comune che confonde molti.
Aggiungo una spiegazione un po' più rigorosa che magari può esserti utile per capire meglio questi processi.
Essendo la radice cubica una funzione continua, dalla definizione di continuità puoi dedurre che
$$\lim_{x\to +\infty} (x^2+x)^{\frac{1}{3}}=\left[\lim_{x\to +\infty} \left(x^2+x\right) \right]^{\frac{1}{3}}$$
Ora puoi procedere come prima per ottenere, naturalmente, lo stesso risultato.
Questo vale per ogni funzione continua, quindi ogni volta che avrai dubbi su limiti con roba dentro a delle funzioni sappi che, sotto ipotesi di continuità delle stesse, puoi agire così.
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