Limite con radicali

[Matteo3213d]

Buongiorno,
mi potreste dare qualche consiglio per calcolare il seguente limite ?
$ lim_(x -> +oo ) ((root(3)(x^2 + 8x) - root(3)(x^2))/sin(x^(-1/3))) $
Siccome il numeratore tende a $ +oo$ e il denominatore a $ 0^+ $, ho pensato che il risultato del limite fosse $ +oo $, però il risultato corretto è $8/3$.

[pilloeffe]

Ciao Matteo3213d,

Prova raccogliendo $root(3)(x^2)$ oppure facendo uso dell'identità $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ con $a := root(3)(x^2 + 8x) $ e $ b := root(3)(x^2) $

[LoreT314]

Purtroppo non credo che il numeratore tenda a $+infty$... Mi sa che siamo di fronte a una forma $[0/0]$. Sai fare gli sviluppi asintotici con gli o piccoli?

[Matteo3213d]

"pilloeffe":Ciao Matteo3213d,

Prova raccogliendo $root(3)(x^2)$ oppure facendo uso dell'identità $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ con $a := root(3)(x^2 + 8x) $ e $ b := root(3)(x^2) $

$ lim_(x -> +oo) ([(x^2+8x)^(1/3)-x^(2/3)][(x^2+8x)^(2/3)+(x^4+8x^3)^(1/3)+x^(4/3)])/x^(-1/3)*x^(-1/3)/sin(x^(-1/3)) $
Siccome $ lim_(x -> +oo) 1/x^(1/3) = 0 $
E' possibile fare questa operazione?
$lim_(x -> +oo) ([(x^2+8x)^(1/3)-x^(2/3)][(x^2+8x)^(2/3)+(x^4+8x^3)^(1/3)+x^(4/3)])/x^(-1/3)*x^(-1/3)/sin(x^(-1/3))$
Con $ x^(-1/3)/sin(x^(-1/3))$ che tende a 1 ?

[Matteo3213d]

"LoreT314":Purtroppo non credo che il numeratore tenda a $+infty$... Mi sa che siamo di fronte a una forma $[0/0]$

Intuitivamente perché non tende a $+oo$? Intendo dire che $(x+8x)^(1/3)$ sembra crescere più velocemente di $x^(1/3)$.

"LoreT314":Sai fare gli sviluppi asintotici con gli o piccoli?

Non ancora.

[pilloeffe]

Non capisco perché la fai così complicata:

$\lim_{x \to +infty} (root(3)(x^2 + 8x) - root(3)(x^2))/sin(x^(-1/3)) = \lim_{x \to +infty} (8x)/((root(3)((x^2 + 8x)^2) + root(3)(x^2) root(3)(x^2 + 8x) + root(3)(x^4)) sin(x^(-1/3))) = $
$ = \lim_{x \to +infty} (8 root(3)(x^4))/(root(3)(x^4) (root(3)(1 + 16/x +64/x^2) + root(3)(1 + 8/x) + 1) \cdot \frac{sin(x^(-1/3))}{x^(-1/3)}) = $
$ = \lim_{x \to +infty} 8/((root(3)(1 + 16/x +64/x^2) + root(3)(1 + 8/x) + 1) \cdot \frac{sin(x^(-1/3))}{x^(-1/3)}) = 8/3 $

[LoreT314]

"Matteo3213d": Intuitivamente perché non tende a $+oo$? Intendo dire che $(x+8x)^(1/3)$ sembra crescere più velocemente di $x^(1/3)$.

Eh il problema è che quando sei di fronte a somme di infiniti di segno opposto fatti così devi andarci cauto a concludere a occhio che uno va più veloce dell'altro. In questi casi in cui hai radici e simili pensaci sempre due volte perché la fregatura è sempre dietro l'angolo
Nel caso specifico si vede anche usando il limite notevole
$lim _(x->0) ((1+x)^a-1)/(a x) =1$
Se raccogli il termine dominante in parentesi ti ritrovi $lim_( x->+oo) x^(2/3) *(1+8/x)^(1/3) -x^(2/3) =lim _(x->+oo) x^(2/3) *((1+8/x)^(1/3) -1)=lim_( x-> +oo) x^(2/3) *(8/(3x)) =lim_( x->+oo) 8/3x^(-1/3)=0$
Nota bene, ciò che ho fatto è stato sostituire un'espressione con una a essa asintotica, in questo caso son ben legittimato a farlo in quanto ho di fronte un prodotto, la cosa invece non vale in caso di somme o composizioni strane, in quel caso è necessario aggiungere gli o piccoli a cui ti accennavo, ma lo vedrai probabilmente più avanti nella tua carriera.

[pilloeffe]

"Matteo3213d":
[quote="LoreT314"]
Sai fare gli sviluppi asintotici con gli o piccoli?

Non ancora.[/quote]
@LoreT314:
Attenzione perché nella risoluzione proposta sono stati usati proprio gli sviluppi asintotici, mentre è senz'altro lecito fare uso del limite notevole che hai citato, ma l'avrei fatto sul limite completo, in modo che risulti chiaro a Matteo3213d che il risultato finale del limite proposto è $8/3 $:

$ \lim_{x \to +infty} (root(3)(x^2 + 8x) - root(3)(x^2))/sin(x^(-1/3)) = \lim_{x \to +infty} (root(3){x^2} (root(3)(1 + 8/x) - 1))/sin(x^(-1/3)) = $
$ = 8 \cdot \lim_{x \to +infty} (root(3)(1 + 8/x) - 1)/(8/x) \cdot \lim_{x \to +infty} 1/(sin(x^(-1/3))/x^(-1/3)) = 8 \cdot 1/3 \cdot 1/1 = 8/3 $

[Matteo3213d]

Grazie a entrambi, comunque.