Limite con problema algebrico

[ildecarlo]

Buonasera,
sto cercando di dimostrare tramite la definizione questo limite di una successione.

$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n^2+10} = 0 $

Dunque vi chiederei di seguire il mio ragionamento (fin dove arriva )

Il limite esiste se, posto un Epsilon piccolo a piacere, la successione non si allontana da 0 per valori maggiori di questo Epsilon.

In matematichese:
$ |\frac{1}{3n^2+10}-0|< \epsilon $

Ecco io ho qualche problemino ora, tolto il valore assoluto:
$ \frac{1}{3n^2+10}< \epsilon $

Come proseguo?

Vi ringrazio molto per l'aiuto che mi darete. Anzi accetto volentieri anche solo dei suggerimenti, in modo da proseguire da solo.

Grazie!

[Mephlip]

Ciao! Credo tu stia avendo problemi perché hai riportato in maniera un po' incompleta la definizione di limite di una successione. Mentre la parte con $\varepsilon>0$ è corretta, manca una parte fondamentale: ossia che vuoi che ciò sia vero dopo un certo "valore soglia", ossia dopo un certo $N_{\varepsilon} \in \mathbb{N}$ (ho messo un $\varepsilon$ al pedice di questo $N$ per indicare che esso può, in generale, dipendere da $\varepsilon$).
Dunque tu devi dimostrare che se $n>N_{\varepsilon}$ allora $\frac{1}{3n^2+10} < \varepsilon$; prova a proseguire!

[ildecarlo]

Salve e grazie infinite.

E' vero che ho dimenticato una parte importantissima della definizione, ma per fortuna ho solo dimenticato di scriverla la avevo ben presente.

Il mio problema è proseguire algebricamente. Mi lasci fare un tentativo e vediamo.

Prima di tutto affermo che

$ \frac{1}{3n^2+10} > 0 $

Valido ovviamente $\foralln!=0 $ e sappiamo che $n>0$ sempre. (il libro usa $\mathbb{N}$ senza lo 0)

Qui forse cominciano i miei guai provo a liberarmi del denominatore scomodo:
$ (3n^2 +10)*\frac{1}{3n^2 +10}<\epsilon*(3n^2 +10) $

Perdoni se riporto tutti i passaggi, ma credo sia utile per capire dove sbaglio, dunque mi trovo:
$ \epsilon*(3n^2 +10)>1 $

Posso arrangiare la cosa così:

$ (3n^2 +10)>\frac{1}{\epsilon} $

E continuare:

$ 3n^2>\frac{1}{\epsilon}- 10 $

Isolo la $n$

$ n^2>\(frac{1}{\epsilon}- 10)1/3 $

Qui mi viene da dire intuitivamente che è sempre vera perché
$ \(frac{1}{\epsilon}- 10)1/3 < 0 $

E mi fermerei. Ma non so se basta come dimostrazione

Nuovamente la ringrazio.

[Mephlip]

Prego! comunque sul forum ci si dà del tu indipendentemente dall'età o dalla posizione sociale; quindi per favore dammi del tu

Perché dici che $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\varepsilon}-10\right)<0$ è sempre vera? Ricorda che la definizione di limite dice "per ogni $\varepsilon>0$", dunque se fosse, per esempio, $\varepsilon=\frac{1}{11}$, risulterebbe $\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\varepsilon}-10\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\frac{1}{11}}-10\right)=\frac{1}{3}\left(11-10)=\frac{1}{3}$, e non è vero che $\frac{1}{3}<0$.

Provo a spiegarlo informalmente: fissato $\varepsilon>0$, tu devi esibire un numero $N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}$ tale che se $n>N_{\varepsilon}$ allora risulta $\frac{1}{3n^2+10} < \varepsilon$; la definizione di $a_n \to L$ per $n\to\infty$ richiede un'implicazione, ossia $n>N_{\varepsilon} \Rightarrow |a_n-L|<\varepsilon$, quindi devi dimostrare questa implicazione.

Quindi inizia proprio fissando questo $\varepsilon>0$, ossia inizia dicendo "Sia $\varepsilon>0$..."; ora sai che deve essere $n>N_{\varepsilon}$, da ciò deduci che $n^2>N_{\varepsilon}^2$ (perché sono quantità positive).

Prova a proseguire da lì, fino a giungere alla tanto agognata stima $\frac{1}{3n^2+10} < \varepsilon$!

Questo è il metodo standard, capito questo te ne mostrerò un altro più immediato che, tuttavia, è leggermente più "tecnico".

[ildecarlo]

Allora ti ringrazio. Scusami anche per il "lag" nelle risposte ma sono studente lavoratore e devo districarmi tra i miei LIMITI

$ \frac{1}{3}*(\frac{1}{epsi}-10)<0 $ $\forall \epsi>0$ è una castroneria bella e buona, me ne sono reso conto.

Riprendiamo il ragionamento.

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{3n^2+10}=0 $

E procediamo con la definizione formale:

Sia $ \epsi > 0 $ $ \exists N_epsi \in \mathbb{N} | n>N_epsi -> \frac{1}{3n^2+10}
E qui proseguo con i calcoli fino a:

$ n^2>(\frac{1}{epsi}-10)*\frac{1}{3} $

Il valore di $n^2 >=1$ sempre (ricordo che il libro usa $\mathbb{N}>0$. questo mi suggerisce che la disequazione è verificata se:

$(\frac{1}{epsi}-10)*\frac{1}{3}<1$

La soluzione qui è $epsi > \frac{1}{13}$

Qui non so benissimo come proseguire formalmente (ammesso che abbia fatto bene finora )

[Mephlip]

Prego! Non ti preoccupare, il forum non è una discussione in tempo reale e quindi tranquillo per i tempi di risposta (anzi, complimenti per la dedizione al lavoro e allo studio simultaneamente).

Diciamo che forse non mi sto spiegando bene, oppure è necessario almeno un esempio per capire questo tipo di dimostrazioni. Ti dimostro con la definizione che
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}=0$$
e tu provi a rielaborare il ragionamento con il tuo caso, va bene? Comunque te la metto in testo nascosto, così se non ti andrà di vederla almeno non ho fatto il dittatore e non ti ho imposto di leggerla

Dimostrazione brutta ma che si capisce:

Dimostriamo con la definizione che $\frac{1}{n+1} \to 0$ per $n \to \infty$.
Dobbiamo dimostrare che fissato $\varepsilon>0$ esiste un indice $N_{\varepsilon} \in \mathbb{N}$ tale che se $n>N_{\varepsilon}$ allora $|\frac{1}{n+1}-0|<\varepsilon$.
Essendo $\frac{1}{n+1}>0$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ possiamo omettere il valore assoluto, perciò dobbiamo dimostrare che fissato $\varepsilon>0$ esiste un indice $N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}$ tale che se $n>N_{\varepsilon}$ risulta $\frac{1}{n+1}<\varepsilon$.
Ora bisogna "sporcarsi le mani", nel senso che tocca trovare questo indice $N_{\varepsilon}$ che rende vera la disuguaglianza $\frac{1}{n+1}<\varepsilon$.
Come si fa? Con una "brutta copia", ossia ci facciamo i conti beceri a parte e poi scriviamo tutto bello nella dimostrazione formale.
Da qui in poi è "brutta copia": cosa vogliamo noi? Che fissata una quantità positiva arbitraria $\varepsilon$ si abbia che $n>N_{\varepsilon}$ implichi $\frac{1}{n+1}<\varepsilon$, ossia che se è vero che $n>N_{\varepsilon}$ allora è vero che $\frac{1}{n+1}<\varepsilon$.
Quindi partiamo fissando $\varepsilon>0$ e prendendo per vero $n>N_{\varepsilon}$: da quest'ultima deduciamo che $n+1>N_{\varepsilon}+1$, inoltre essendo positivi ambo i membri dell'ultima disuguaglianza (perché $n,N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}$) possiamo passare ai reciproci invertendo l'ordine.
Otteniamo quindi $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{N_{\varepsilon}+1}$; finalmente siamo giunti a qualcosa di simile a quello che volevamo, ossia abbiamo una stima dall'alto per $\frac{1}{n+1}$ (ossia abbiamo $\frac{1}{n+1}$ minore di qualcosa).
Cosa volevamo noi? Volevamo che fosse $\frac{1}{n+1} < \varepsilon$, perciò imponiamo che $\frac{1}{N_{\varepsilon}+1} < \varepsilon$ e risolviamo per $N_{\varepsilon}$ (risolviamo per $N_{\varepsilon}$ perché la definizione di limite ci chiede di esibire, ossia di far vedere che esiste, un indice $N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}$ che rende vera la disuguaglianza $\frac{1}{n+1} < \varepsilon$).
Risolvendo troviamo quindi $N_{\varepsilon}>\frac{1}{\varepsilon}-1$. Abbiamo concluso, perché ora basta quindi scegliere $N_{\varepsilon}:=\frac{1}{\varepsilon}-1$ e si ha $n>N_{\varepsilon}=\frac{1}{\varepsilon}-1\Rightarrow n>\frac{1}{\varepsilon}-1 \Rightarrow n+1>\frac{1}{\varepsilon}\Rightarrow \frac{1}{n+1} < \varepsilon$.
Dato che $\varepsilon>0$ è arbitrario, l'argomentazione fatta vale per ogni $\varepsilon>0$.
Siamo quindi giunti a: per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}$ (nello specifico è $N_{\varepsilon}=\frac{1}{\varepsilon}-1$) tale che se $n>N_{\varepsilon}$ è $|\frac{1}{n+1}-0|<\varepsilon$. Fine.

Spiegazione intuitiva:

Noi umani non sappiamo trattare l'infinito a livello mentale, quindi la formalizzazione di "qualcosa che tende all'infinito" si traduce in "qualcosa che supera qualsiasi quantità arbitrariamente fissata"; quindi dire che $n\to\infty$ significa dire che $n$ diventa più grande di un qualsiasi naturale fissato (ossia diventa più grande di $N_{\varepsilon}$, ecco perché compare tale richiesta nella definizione di limite).
Quindi usare il fatto che $n>N_{\varepsilon}$ è fondamentale per poter dimostrare qualcosa in un contesto di limite per $n\to\infty$, perché è proprio quell'assunzione che ti sta mettendo nel contesto di $n\to\infty$! Ecco perché le tue dimostrazioni prima non andavano bene, non stavi contestualizzando che $n\to\infty$ perché nelle tue dimostrazioni non stavi usando il fatto che $n$ supera ogni quantità arbitrariamente fissata, ossia non stavi utilizzando l'informazione "$n>N_{\varepsilon}$ implica...".
In questo caso quindi abbiamo fatto vedere che se $n$ diventa più grande di qualsiasi numero intero fissato allora la successione $\frac{1}{n+1}$ diventa più piccola di qualsiasi quantità positiva fissata, ossia la spiegazione intuitiva di che cosa vogliamo che sia il limite della successione $\frac{1}{n+1}$ per $n\to\infty$.
Quindi, come hai visto, uno si fa una "brutta copia" in cui si fa le stime (stime significa disuguaglianze) e poi, trovato l'indice $N_{\varepsilon}$ "che funziona", scrive la definizione formale (che ti riporto qua sotto); noterai che, senza sapere cosa succede nella "brutta copia", l'indice $N_{\varepsilon}$ che compare nella dimostrazione formale sembra tirato fuori dal nulla.

Dimostrazione "formalissima" (ma che, secondo me, non si capisce per niente da studente alle prime armi):

Sia $\varepsilon>0$. Scelto $N_{\varepsilon}:=\frac{1}{\varepsilon}-1$, si ha che se $n>N_{\varepsilon}$ risulta
$$\left|\frac{1}{n+1}-0\right|=\frac{1}{n+1} <\frac{1}{N_{\varepsilon}+1} = \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}-1+1}=\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}}=\varepsilon$$
ossia
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1}=0$$

Nota finale:

A rigore dovresti prendere $N_{\varepsilon}:=\ceil{\frac{1}{\varepsilon}-1}$, perché $\varepsilon$ è un numero reale positivo e dunque l'$N_{\varepsilon}$ scelto senza la parte intera in generale non è un naturale (ricorda che $N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}$).
Il simbolo $\ceil x $ indica la funzione parte intera di $x$, che brutalmente è il numero intero più grande dopo $x$.
Inoltre prendiamo la parte intera superiore (ce ne sono due: una superiore ed una inferiore, che invece brutalmente è il numero intero più piccolo dopo $x$ e si indica con $\floor{x}$) per assicurarci che sia valida la stima ottenuta con l'$N_{\varepsilon}$.

Spero di essere stato chiaro, forse sono stato ampolloso e sono stato volutamente ripetitivo su alcuni concetti ma credo che solo così l'interlocutore, se è la prima volta che si affaccia a un argomento astratto, possa capire le cose per bene.

Se hai capito, prova a fare lo stesso argomento con il limite che hai proposto!

Poi ti farò vedere il modo "più tecnico" ma meno laborioso di cui ti parlavo nell'altra risposta.

[ildecarlo]

Ciao, volevo solo avvisarti che grazie al tuo aiuto credo di esserci riuscito! Avevo scritto tutto in LaTex ma ho perso il messaggio mentre lo salvava

Dammi ancora qualche tempo e te lo riscrivo. Grazie ancora!

[Mephlip]

Prego! Bene, sono contento ti sia stato di aiuto. Non preoccuparti, anzi, mi dispiace per la perdita del messaggio (conosco la noiosissima sensazione); quando vuoi riscrivilo pure!