Limite con parte intera
Sto cercando di dimostrare che questo limite non esiste
$lim_(x->0) 1/x-[1/x]$ dove $[.]$ denota la parte intera.
Non avevo bene idea di come fare quindi mi sono messo un po a trafficare sperando di trovare un metodo che potesse andar bene.
Ho iniziato cosi
Suppongo per assurdo che il limite esista
Per il teorema ponte ogni successione a valori nel dominio, convergente a zero, è tale per cui
$lim _(n->infty) f(x_n) =L$
Ora la funzione si verifica facilmente che è limitata tra zero e uno, perciò il limite se è esiste è finito. Se scelgo $x_n=1/n$ ottengo che $L=0$. Quindi se il limite esiste è uguale a zero (questa implicazione non sono sicuro sia proprio corretta, lo è?).
Ora passo alla definizione di limite e dimostro che non può essere zero.
Fisso ad esempio $epsilon=1/2$. Devo trovare, per ogni delta, una x che sta nell'intorno centrato in zero di raggio $delta$ tale che $f(x) >=1/2$. Prendo ad esempio una x della forma $1/(3/4+k)$ con k numero naturale. Sono sicuro di trovare una x fatta così nell'intorno che mi interessa in quanto basta prendere $k=[(1-3/4delta)/delta]+1$.
Dite che questa dimostrazione sta in piedi?
Se no, mi sapreste dare qualche indizio per trovarne una più corta o migliore?
Grazie mille in anticipo
$lim_(x->0) 1/x-[1/x]$ dove $[.]$ denota la parte intera.
Non avevo bene idea di come fare quindi mi sono messo un po a trafficare sperando di trovare un metodo che potesse andar bene.
Ho iniziato cosi
Suppongo per assurdo che il limite esista
Per il teorema ponte ogni successione a valori nel dominio, convergente a zero, è tale per cui
$lim _(n->infty) f(x_n) =L$
Ora la funzione si verifica facilmente che è limitata tra zero e uno, perciò il limite se è esiste è finito. Se scelgo $x_n=1/n$ ottengo che $L=0$. Quindi se il limite esiste è uguale a zero (questa implicazione non sono sicuro sia proprio corretta, lo è?).
Ora passo alla definizione di limite e dimostro che non può essere zero.
Fisso ad esempio $epsilon=1/2$. Devo trovare, per ogni delta, una x che sta nell'intorno centrato in zero di raggio $delta$ tale che $f(x) >=1/2$. Prendo ad esempio una x della forma $1/(3/4+k)$ con k numero naturale. Sono sicuro di trovare una x fatta così nell'intorno che mi interessa in quanto basta prendere $k=[(1-3/4delta)/delta]+1$.
Dite che questa dimostrazione sta in piedi?
Se no, mi sapreste dare qualche indizio per trovarne una più corta o migliore?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Beh, sì, ma la puoi fare più breve.
Dato che $t - [t] = \{ t\}$ (qui $[*]$ e $\{*\}$ denotano rispettivamente la parte intera e quella frazionaria), il limite si riscrive $lim_(t -> + oo) \{ t\}$, che evidentemente non esiste perché $\{*\}$ è periodica di periodo $1$ e non costante.
Dato che $t - [t] = \{ t\}$ (qui $[*]$ e $\{*\}$ denotano rispettivamente la parte intera e quella frazionaria), il limite si riscrive $lim_(t -> + oo) \{ t\}$, che evidentemente non esiste perché $\{*\}$ è periodica di periodo $1$ e non costante.
Beh mi sembra decisamente migliore.
Una curiosità, quel passaggio che avevo evidenziato sul quale ero insicuro è effettivamente fondato?
Una curiosità, quel passaggio che avevo evidenziato sul quale ero insicuro è effettivamente fondato?
Sì, va benissimo ed il ragionamento che hai proposto funziona. 
Nota però che, se vuoi usare il teorema ponte, puoi anche farlo esibendo due successioni lungo le quali la tua funzione assume costantemente valori differenti.
Una l’hai già trovata risolvendo $1/x = n$; per l’altra, fissa un $0
Nota però che, se vuoi usare il teorema ponte, puoi anche farlo esibendo due successioni lungo le quali la tua funzione assume costantemente valori differenti.
Una l’hai già trovata risolvendo $1/x = n$; per l’altra, fissa un $0
Ok si, io avevo scelto il modo più lungo devo ancora imparare bene a lavorare con le dimostrazioni
Grazie mille
devo ancora imparare bene a lavorare con le dimostrazioni Grazie mille
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