Limite con parametro e Taylor
Ciao a tutti,
sono nuovo e spero di non sbagliare nulla per le formalità
Avevo alcuni dubbi su questo limite con la richiesta di trovare per quali $\alpha$ è soddisfatta l'uguglianza con $0$.
$lim_(x->0)(cos(x^(3alpha))+x^(6alpha)/2-1)/(x^alpha+x)=0$
È evidente la necessità di Taylor, allora ho fatto lo sviluppo:
$cos(x^(3alpha))=1-x^(6alpha)/2+o(x^(6alpha))$
Il limite si riduce quindi a:
$lim_(x->0)(o(x^(6alpha)))/(x^(alpha+1))=0$
A questo punto dovrei trovare per quali $alpha$ il limite è uguale a $0$.
Secondo il mio ragionamento ovviamente il numeratore deve essere di grado maggiore del denominatore sennò tende a infinito. Allora ho provato a imporre $alpha+1<0$, quindi $alpha<-1$. Ma è evidente che non risulta essere corretto, anche utilizzando i calcolatori mi risulta che l'uguaglianza del limite sia soddisfatta per ogni $alpha > 0$.
Non so quindi con quale ragionamento procedere nell'ultimo passaggio per trovare $alpha$.
Grazie, ciao a tutti.
sono nuovo e spero di non sbagliare nulla per le formalità
Avevo alcuni dubbi su questo limite con la richiesta di trovare per quali $\alpha$ è soddisfatta l'uguglianza con $0$.
$lim_(x->0)(cos(x^(3alpha))+x^(6alpha)/2-1)/(x^alpha+x)=0$
È evidente la necessità di Taylor, allora ho fatto lo sviluppo:
$cos(x^(3alpha))=1-x^(6alpha)/2+o(x^(6alpha))$
Il limite si riduce quindi a:
$lim_(x->0)(o(x^(6alpha)))/(x^(alpha+1))=0$
A questo punto dovrei trovare per quali $alpha$ il limite è uguale a $0$.
Secondo il mio ragionamento ovviamente il numeratore deve essere di grado maggiore del denominatore sennò tende a infinito. Allora ho provato a imporre $alpha+1<0$, quindi $alpha<-1$. Ma è evidente che non risulta essere corretto, anche utilizzando i calcolatori mi risulta che l'uguaglianza del limite sia soddisfatta per ogni $alpha > 0$.
Non so quindi con quale ragionamento procedere nell'ultimo passaggio per trovare $alpha$.
Grazie, ciao a tutti.
Risposte
Hai trascritto male il denominatore non e' $(x^(alpha)+x)=x^(alpha+1) $
Urca... che errore 
Grazie 
Quindi, arriviamo a:
$lim_(x->0)(o(x^(6alpha)))/(x^alpha+x)=0$
Ma se ragiono alla stesso modo affinchè il numeratore abbia grado maggiore come posso procedere?
Grazie Quindi, arriviamo a:
$lim_(x->0)(o(x^(6alpha)))/(x^alpha+x)=0$
Ma se ragiono alla stesso modo affinchè il numeratore abbia grado maggiore come posso procedere?
Se $alpha>1$, risulta $x^alpha+x~x $ quindi il limite sara $lim (x^(6alpha)/2)/x=lim(x^(6alpha-1)/2)=0$, essendo $6alpha-1>0$,
se $00$
se $0
Ciao francicko, grazie per la risposta.
Non ho però capito perchè al numeratore poni $x^(6alpha)/2$, a me resta solo $o(x^(6alpha))$
A dirla tutta non ho capito neanche perchè $x^alpha+x ~~ x$ o $x^alpha+x ~~ x^alpha$
Non ho però capito perchè al numeratore poni $x^(6alpha)/2$, a me resta solo $o(x^(6alpha))$
A dirla tutta non ho capito neanche perchè $x^alpha+x ~~ x$ o $x^alpha+x ~~ x^alpha$
Devi usare solo la definizione di o-piccolo. Hai fatto tutti i conti necessari.
Ciao dissonance, grazie per il supporto. Provo a ragionarci un po' su.
Mi manca qualche passaggio...
Mi manca qualche passaggio...
Per definizione, $(o(x^(6\alpha)))/(x^(6\alpha))$ tende a zero. Moltiplica e dividi in $(o(x^(6alpha)))/(x^alpha + x)$ in modo da fare comparire $x^(6alpha)$ al denominatore
Mi esce quindi $(o(x^(6alpha))*x^(5alpha))/(x^(6alpha)+x^(5alpha+1)$
Nel caso di $alpha>1$ i due termini di grado maggiore sono $5^(5alpha)/x^(6alpha)$, per cui dovrebbe sempre essere $infty$. Quindi il mio ragionamento non può essere corretto.
Nel caso di $alpha>1$ i due termini di grado maggiore sono $5^(5alpha)/x^(6alpha)$, per cui dovrebbe sempre essere $infty$. Quindi il mio ragionamento non può essere corretto.
x Guidux. Scusa ho sbagliato a scrivere nel post precedente, come giustamente hai detto e necessario l' uso di taylor, in quanto vengono coinvolti termini successivi ad $x^(6alpha)/2$, cioe infinitesimi di ordine superiore a $6alpha$, Il termine successivo utile e $x^(12alpha)/(4!) $, a questo punto secondo me il limite da considerare diventa $lim_(x->0) ((x^(12alpha))/(4!))/(x+x^(alpha)) $, questo limite ha come risultato $0$ , per valori di $alpha>0$;
Infatti per $alpha>1$ , essendo a denominatore $x^(alpha) $ trascurabile, si ha $lim(x^(12alpha))/x=0$ in quanto $12alpha>1 $, quindi il numeratore va piu velocemente a zero rispetto al denominatore, lo stesso per $alpha=1$, ed idem per $0
Infatti per $alpha>1$ , essendo a denominatore $x^(alpha) $ trascurabile, si ha $lim(x^(12alpha))/x=0$ in quanto $12alpha>1 $, quindi il numeratore va piu velocemente a zero rispetto al denominatore, lo stesso per $alpha=1$, ed idem per $0
Si ma non c'era bisogno di sviluppare fino ad un ordine così alto. Non sono d'accordo con francicko. E poi non sono d'accordo con quel \(x^\alpha+x=x^\alpha + o(x^\alpha)\). Questo è vero SOLO se $\alpha <1$.
Vedo di spiegarmi meglio. In primis, è obbligatorio che $\alpha >0$, altrimenti il limite non esiste. In secundis, una volta arrivati a
\[
\frac{o(x^{6\alpha})}{x^\alpha + x}, \]
bisogna isolare nel denominatore il termine dominante. Qual è? Teniamo presente che $x$ tende a $0$, quindi assume valori piccoli a volontà. Perciò $|x|^\alpha <|x|$ se $\alpha>1$ e $|x|^\alpha > |x|$ se $\alpha <1$. Questo ci suggerisce di distinguere i due casi $0<\alpha<1$ e $1<\alpha$. Nel primo caso, scriviamo
\[
\frac{o(x^{6\alpha})}{x^\alpha + x}=\underbrace{\frac{o(x^{6\alpha})}{x^\alpha}}_I\underbrace{\frac{1}{1+x^{1-\alpha}}}_{II}.\]
SI ha che $I\to 0$ e $II\to 1$. (Perché?). Quindi il tutto tende a $0$.
Resta da fare l'altro caso e conviene che lo faccia Guidux per esercizio.
Vedo di spiegarmi meglio. In primis, è obbligatorio che $\alpha >0$, altrimenti il limite non esiste. In secundis, una volta arrivati a
\[
\frac{o(x^{6\alpha})}{x^\alpha + x}, \]
bisogna isolare nel denominatore il termine dominante. Qual è? Teniamo presente che $x$ tende a $0$, quindi assume valori piccoli a volontà. Perciò $|x|^\alpha <|x|$ se $\alpha>1$ e $|x|^\alpha > |x|$ se $\alpha <1$. Questo ci suggerisce di distinguere i due casi $0<\alpha<1$ e $1<\alpha$. Nel primo caso, scriviamo
\[
\frac{o(x^{6\alpha})}{x^\alpha + x}=\underbrace{\frac{o(x^{6\alpha})}{x^\alpha}}_I\underbrace{\frac{1}{1+x^{1-\alpha}}}_{II}.\]
SI ha che $I\to 0$ e $II\to 1$. (Perché?). Quindi il tutto tende a $0$.
Resta da fare l'altro caso e conviene che lo faccia Guidux per esercizio.
[EDIT] (ora leggo con calma anche dissonance, non ho fatto in tempo a leggere perchè lo stavo rifacendo)
Ho provato a rifarlo con lo spunto di francicko (correggendo gli o piccolo)...
$ lim_(x->0)(cos(x^(3alpha))+x^(6alpha)/2-1)/(x^alpha+x)=0 $
Considerato $cos(x^(3alpha))=1-x^(6alpha)/2+x^(12alpha)/(4!)+o(x^(12alpha)) $
Il numeratore si riduce a:
$x^(12alpha)/(4!)+o(x^(12alpha)) $
Usando la definizione di o piccolo: $f=o(g)$ se $ lim_(x->0)(f(x))/(g(x))=0 $ $\rArr$ ${ (alpha > 1 \rArr x^alpha=o(x)),(alpha=1 \rArr x=x^alpha),( alpha < 1 \rArr x=o(x^alpha)):}$
Quindi, il denominatore:
${ (alpha > 1 \rArr x^(alpha)+x=x+o(x)),(alpha=1 \rArr x^(alpha)+x=2x),( alpha < 1 \rArr x^(alpha)+x=x^alpha+o(x^alpha)):}$
Ovvero
${ (alpha > 1 \rArr lim_(x->0)(x^(12alpha)/(4!)+o(x^(12alpha)))/(x+o(x))=0),(alpha=1 \rArr lim_(x->0)(x^(12alpha)/(4!)+o(x^(12alpha)))/(2x)=0),( alpha < 1 \rArr lim_(x->0)(x^(12alpha)/(4!)+o(x^(12alpha)))/(x^alpha+o(x^alpha))=0):}$ $\rArr$ ${ ( 12alpha-1>0 nn alpha > 1\rArr alpha>1/12 nn alpha >1 \rArr alpha > 1 ),(12alpha-1>0 nn alpha=1 \rArr alpha>1/12 nn alpha=1 \rArr alpha = 1 ),(12alpha-alpha>0 nn alpha<1 \rArr 11alpha >0 nn alpha<1 \rArr 0
Quindi $AA alpha>0$
Ho provato a rifarlo con lo spunto di francicko (correggendo gli o piccolo)...
$ lim_(x->0)(cos(x^(3alpha))+x^(6alpha)/2-1)/(x^alpha+x)=0 $
Considerato $cos(x^(3alpha))=1-x^(6alpha)/2+x^(12alpha)/(4!)+o(x^(12alpha)) $
Il numeratore si riduce a:
$x^(12alpha)/(4!)+o(x^(12alpha)) $
Usando la definizione di o piccolo: $f=o(g)$ se $ lim_(x->0)(f(x))/(g(x))=0 $ $\rArr$ ${ (alpha > 1 \rArr x^alpha=o(x)),(alpha=1 \rArr x=x^alpha),( alpha < 1 \rArr x=o(x^alpha)):}$
Quindi, il denominatore:
${ (alpha > 1 \rArr x^(alpha)+x=x+o(x)),(alpha=1 \rArr x^(alpha)+x=2x),( alpha < 1 \rArr x^(alpha)+x=x^alpha+o(x^alpha)):}$
Ovvero
${ (alpha > 1 \rArr lim_(x->0)(x^(12alpha)/(4!)+o(x^(12alpha)))/(x+o(x))=0),(alpha=1 \rArr lim_(x->0)(x^(12alpha)/(4!)+o(x^(12alpha)))/(2x)=0),( alpha < 1 \rArr lim_(x->0)(x^(12alpha)/(4!)+o(x^(12alpha)))/(x^alpha+o(x^alpha))=0):}$ $\rArr$ ${ ( 12alpha-1>0 nn alpha > 1\rArr alpha>1/12 nn alpha >1 \rArr alpha > 1 ),(12alpha-1>0 nn alpha=1 \rArr alpha>1/12 nn alpha=1 \rArr alpha = 1 ),(12alpha-alpha>0 nn alpha<1 \rArr 11alpha >0 nn alpha<1 \rArr 0
Quindi $AA alpha>0$
@dissonance
Nel caso (edit) $alpha>1$ isoliamo $x$
\[
\frac{o(x^{6\alpha})}{x^\alpha + x}=\underbrace{\frac{o(x^{6\alpha})}{x}}_I\underbrace{\frac{1}{1+x^{\alpha-1}}}_{II}.\]
Quindi dovrebbero $I -> 0$ e $II -> 1$
Nel caso $alpha=1$ ripendiamo $I -> 0$
Mi sembrano corretti entrambi i modi, sbaglio?
Nel caso (edit) $alpha>1$ isoliamo $x$
\[
\frac{o(x^{6\alpha})}{x^\alpha + x}=\underbrace{\frac{o(x^{6\alpha})}{x}}_I\underbrace{\frac{1}{1+x^{\alpha-1}}}_{II}.\]
Quindi dovrebbero $I -> 0$ e $II -> 1$
Nel caso $alpha=1$ ripendiamo $I -> 0$
Mi sembrano corretti entrambi i modi, sbaglio?
Si sono corretti, ma se $0<\alpha<1$ devi isolare $x^\alpha$, come ho fatto io sopra.
Giusto, pardon, intendevo scrivere il caso $alpha >1$ come mi avevi consigliato per esercitarmi.
Grazie
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