Limite con parametro

[jiulia13]

Salve siamo 2 studentesse e abbiamo un problema nella risoluzione di un limite. Dobbiamo trovare il valore del seguente limite al variare di a:
Il limite per x che tende a 0+ di [(x^a)*(sin(1/x))]
allora noi abbiamo posto x=1/y, il limite perciò tenderà a +infinito. A questo punto le idee da noi trovare sono due:
Allora la funzione [sin y/y^a] sarà compresa tra -1/y^a e +1/y^a. se a>=1 non abbiamo problemi perchè le funzioni tendono a 0 perciò per il teorema del confronto anche la funzione tra essa comprese tenderà allo stesso valore, il problema nasce per 0 La seconda soluzione è utilizzare le gerarchie cioè sapendo che la funzione y^a è di ordine superiore riuscia a ricavarne il valore ma questa seconda opzione non possiamo utilizzarla perchè il nostro professore non la considera una risposta corretta. Qualcuno piò aiutarci?? Siamo disperate
Grazie per l'aiuto

[walter891]

io proverei in un altro modo: $sin(1/x)$ è limitata percui se $x^a$ è infinitesimo il limite esiste e vale $0$, ciò accade per $a>0$
mentre se $a=0$ il limite non esiste
se invece $a<0$ allora viene un rapporto $infty/0$ quindi il limite fa $+infty$

[jiulia13]

ma se io ho a<0 il seno modifica il segno quindi il limite non è +infinito.

[Rigel1]

Per $a\le 0$ puoi vedere cosa succede, ad esempio, sulle successioni
$x_n = \frac{1}{n\pi}$ e $y_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+n\pi}$.

[jiulia13]

come hai fatto a trovare tali successioni?

[Rigel1]

Se vedi quanto vale la funzione su quelle successioni dovresti anche capire come mi sono venute in mente.