Limite con parametro
devo studiare al variare del parametro $n in NN, n>0$ il seguente limite:
$ lim_(x -> 0) (log (1+x^3+x^n) - x^3)/x^6 $
ora...quello che ho fatto è stato sviluppare in serie di Taylor per alcuni n...ma mi pare che il risultato sia sempre infinito..e non mi sembra normale...
posso fare la seguente approssimazione per gli $n>3$: $log(1+x^3+x^n) sim log(1+x^n)$
ho forti dubbi...e penso sia sbagliata..ma non ho altre idee..
$ lim_(x -> 0) (log (1+x^3+x^n) - x^3)/x^6 $
ora...quello che ho fatto è stato sviluppare in serie di Taylor per alcuni n...ma mi pare che il risultato sia sempre infinito..e non mi sembra normale...
posso fare la seguente approssimazione per gli $n>3$: $log(1+x^3+x^n) sim log(1+x^n)$
ho forti dubbi...e penso sia sbagliata..ma non ho altre idee..
Risposte
"pieerr":
devo studiare al variare del parametro $n in NN, n>0$ il seguente limite:
$ lim_(x -> 0) (log (1+x^3+x^n) - x^3)/x^6 $
ora...quello che ho fatto è stato sviluppare in serie di Taylor per alcuni n...ma mi pare che il risultato sia sempre infinito..e non mi sembra normale...
posso fare la seguente approssimazione per gli $n>3$: $log(1+x^3+x^n) sim log(1+x^n)$
ho forti dubbi...e penso sia sbagliata..ma non ho altre idee..
Al variare di $n$, l'infinitesimo $log(1+x^3+x^n)$ cambia ordine.
Se $n >= 3$, $x^3+x^n$ avrà ordine $3$.
Se $0 < n < 3$, $x^3+x^n$ avrà ordine $n ( < 3 )$.
Caso 1 ( $n < 3$ ):
$ lim_(x -> 0) (log (1+x^3+x^n) - x^3)/x^6 $
Al numeratore puoi trascurare $x^3$ in quanto infinitesimo di ordine superiore. Quindi avresti un denominatore di ordine $6$ e un numeratore di ordine $< 3$.
Caso 2 ( $n >= 3 $ ):
Riesci ad immaginare cosa può accadere? Hai una differenza di due infinitesimi dello stesso ordine. Stai attento.
"pieerr":
posso fare la seguente approssimazione per gli $n>3$: $log(1+x^3+x^n) sim log(1+x^n)$
Questa è sbagliata... Puoi fare questa sostituzione:
$log(1+x^3+x^n) sim log(1+x^3)$ per $n > 3$, proprio perché, all'interno dell'argomento del logaritmo, la funzione $x^n$ è trascurabile rispetto a $x^3$.
Per $n>3$ puoi osservare che
$\log(1+x^3+x^n) = x^3+x^n -\frac{1}{2}(x^3+x^n)^2 + o((x^3+x^n)^2) = x^3 + x^n -\frac{1}{2}x^6 + o(x^6)$.
Il numeratore diviene dunque
$x^n -\frac{1}{2}x^6 + o(x^6)$.
$\log(1+x^3+x^n) = x^3+x^n -\frac{1}{2}(x^3+x^n)^2 + o((x^3+x^n)^2) = x^3 + x^n -\frac{1}{2}x^6 + o(x^6)$.
Il numeratore diviene dunque
$x^n -\frac{1}{2}x^6 + o(x^6)$.
@ seneca: me l'hai detto te cosa fare per $n>3$!! 
comunque ho capito grazie! il problema è che avevo (spero di non aver più!) il vizio di confondere infiniti e infinitesimi...trascuravo ordini superiori e inferiori in modo sbagliato!
dato che ci siamo...nei polinomi di Taylor certi libri usano la notazione dell'O-grande per l'errore...cosa che più o meno ho capito...ma mi domandavo..ci sono relazioni che legano O-grande con o-piccolo???
comunque ho capito grazie! il problema è che avevo (spero di non aver più!) il vizio di confondere infiniti e infinitesimi...trascuravo ordini superiori e inferiori in modo sbagliato!
dato che ci siamo...nei polinomi di Taylor certi libri usano la notazione dell'O-grande per l'errore...cosa che più o meno ho capito...ma mi domandavo..ci sono relazioni che legano O-grande con o-piccolo???
"pieerr":
@ seneca: me l'hai detto te cosa fare per $n>3$
Io ti ho scritto solo che $log( 1 + x^3 + x^n )$ è di ordine $3$. Ma al numeratore hai una differenza di infinitesimi dello stesso ordine.
si scusa intendevo che mi hai suggerito la semplificazione da fare, era quella che mi confondeva!...per il resto me la cavo! Lo so che $log(1+x^3)$ non posso approssimarlo semplicemente a $x^3$ ma svilupparlo in serie con ordine superiore a 3...
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