Limite con parametro
(per stasera prometto di terminarla con questo limite).
Ringrazio tutti per la disponibilità e la pazienza con cui nel tempo avete sempre risposto.
Veniamo all'esercizio, si chiede di calcolare il limite:
$lim_(xto0^+) ( e^(2x)-sin2x+2beta)/(x^beta(1-cosx))$
il numeratore non dorebbe dare particolari problemi dal momento che per x->0+ $e^2x ->1 , sin2x->0 , 2beta=cost$.
Il denominatore è uguale a 0....sbaglio o v è qualcosa di arcano che non ho considerato e si richiede di scomodare alcuni limiti notevoli?
Ringrazio tutti per la disponibilità e la pazienza con cui nel tempo avete sempre risposto.
Veniamo all'esercizio, si chiede di calcolare il limite:
$lim_(xto0^+) ( e^(2x)-sin2x+2beta)/(x^beta(1-cosx))$
il numeratore non dorebbe dare particolari problemi dal momento che per x->0+ $e^2x ->1 , sin2x->0 , 2beta=cost$.
Il denominatore è uguale a 0....sbaglio o v è qualcosa di arcano che non ho considerato e si richiede di scomodare alcuni limiti notevoli?
Risposte
Il punto fondamentale è che devi discutere il limite al variare di $\beta$; il tuo ragionamento è corretto, ma per quali $\beta$? Sapresti rispondere a questa domanda?
E se $\beta$ non assume quei valori, cosa succede?
E se $\beta$ non assume quei valori, cosa succede?
Praticamente, io ho svolto regolarmente, come se il parametro lo trovassi alla fine dei miei calcoli. Ma al denominatore trovo 0, il che mi rende ininfluente la presenza del parametro. Non ho capito, altrimenti, come svolgere. Scusatemi, ma è la prima volta che analizzo un limite con parametro(con le serie la speranza è sempre piccola...)
beta >= 0 è quello che hai probabilmente considerato tu.
se beta < 0, la cosa non è immediata. c'è anche da fare una considerazione a parte per beta=-1/2.
ciao.
se beta < 0, la cosa non è immediata. c'è anche da fare una considerazione a parte per beta=-1/2.
ciao.
ada...io non ho capito come arrivare a queste considerazioni. Cioè, non ho considerato casi. Non so nemmeno da dove derivi quel beta=-1/2... 
ho provato a svolgere. Allora, per $beta>=0$ trovo che il limite è +oo
Per $beta<0$ non so come risolvere il limite. Per $beta=-2$, $(1-cosx)/x^beta ->1/2$, per $beta=-1$, $(1-cosx)/x ->0$ ...è corretto?
Per $beta<0$ non so come risolvere il limite. Per $beta=-2$, $(1-cosx)/x^beta ->1/2$, per $beta=-1$, $(1-cosx)/x ->0$ ...è corretto?
ok....grazie ada. Sono riuscito!!!Grazie infinite. L'unico caso che non ho considerato(perchè ancora non sono riuscito a capire da dove esca fuori!) è beta=-1/2, ma va bene lo stesso 
$\beta=1/2$ salta fuori perché $e^(2x)-sin(2x) \to 1$ per $x\to 0$; è chiaro che il numeratore tende a $1-2\beta$; se $\beta=1/2$, il numeratore tende a zero, e quindi hai una forma indeterminata $0/0$...
grazie maurer.Posso chiederti un'altra cosa, perchè proprio non ci sto riuscendo. Per beta<-2 come faccio a risolvere il limite con il solo uso di limiti notevoli?
In generale, se $\beta<0$ puoi procedere così:
$\lim_{x\to 0^+}(e^(2x)-sin(2x)+2\beta)/(x^\beta*(1-cos(x)))=\lim_{x\to 0^+}(1+2\beta)*x^(-\beta)/(1-cos(x))=(1+2\beta)*\lim_{x\to 0^+}x^2/(1-cos(x))*x^(-\beta)/x^2$
e a questo punto è facile concludere, visto che il primo fattore tende a $2$, mentre il secondo fattore, riscrivibile come $x^(-\beta-2)$ è facile da calcolare...
Ti è chiaro?
$\lim_{x\to 0^+}(e^(2x)-sin(2x)+2\beta)/(x^\beta*(1-cos(x)))=\lim_{x\to 0^+}(1+2\beta)*x^(-\beta)/(1-cos(x))=(1+2\beta)*\lim_{x\to 0^+}x^2/(1-cos(x))*x^(-\beta)/x^2$
e a questo punto è facile concludere, visto che il primo fattore tende a $2$, mentre il secondo fattore, riscrivibile come $x^(-\beta-2)$ è facile da calcolare...
Ti è chiaro?
sono un idiota!!!! dimenticavo di moltiplicare per x^2.... 
grazie maurer. Sin troppo chiaro, sin troppo gentile.Grazie di cuore.
grazie maurer. Sin troppo chiaro, sin troppo gentile.Grazie di cuore.
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