Limite con parametro

[vivi996]

Buongiorno, ho sempre dubbi su questi limiti con parametri.
Ho $\lim_{x \to \1^+}(3-2^x)^((x-1)^(alpha))$ con $alphainRR$
Come soluzione mi da $alpha<-1$ , $alpha=1$, $alpha>$$-1$
e per $alpha=-1$ la soluzione sarebbe $1/4$. Ma perchè?
Io avevo suddiviso in maggiore o minore di 0 e poi per $alpha=1$. Non riesco mai bene a capire quali siano le considerazioni per trovare i vari casi

[gugo82]

Qual è il comportamento al limite dell'esponente più esterno?
Varia al variare di $alpha$ in una maniera facilmente predicibile, no? Pensaci.

[vivi996]

ma nella parentesi ho comunque 1 se x tende a 1!

[francicko]

Per $alpha=-1$ si ha una forma indeterminata $1^(infty)$, infatti il limite diventa $lim_(x->1^+)(3-2^x)^(1/(x-1)) $, conviene porre il limite nella forma $lim_(x->-1^+)e^(1/(x-1)log (1+2-2^x))$, da qui utilizzando due noti limiti notevoli, quali?
Prova ad identificarli, si arriva facilmente al risultato $e^(-2log2)=e^(-log4)=-1/4$

[vivi996]

Mh non avrei mai scritto la funzione in quel modo. Il limite è $e^(f(x))-1$?

[francicko]

No, nella forma esponenziale che ti ho mostrato, basta a questo punto risolvere semplicemente il limite ad esponente, ossia $lim_(x->1^+)1/(x-1)log (1+(2-2^x)) $, ed utilizzando semplicemente due noti limiti notevoli otterrai il risultato, i due limiti notevoli da utilizzare sono...?

[francicko]

Sì può riscrivere $lim_(x->1^+)1/(x-1)log (1+2 (1-2^(x-1)) $ porre per comodità $(x-1)=t $ quindi si ha sostituendo $lim_(t->0^+)(1/t)log (1+2(1-2^t)) $ moltiplicando e dividendo per $2(1-2^t)$ si ha ancora $lim_(t->0^+)2(1-2^t)/t×lim_(t->0^+)log (1+2(1-2^t))/(2(1-2^t) )$ a questo punto si riconoscono due ben noti limiti notevoli: $2×log2×lim_(t->0^+)(1-e^(tlog2))/(tlog2)=2×log2×(-1)=-2log2$
ed $lim_(t->0^+)log (1+2(1-2^t))/(2(1-2^t))=1$ pertanto il valore del limite originario per $alpha=-1$ sarà $e^(-2log2)=e^(-log4)=-1/4$