Limite con parametro
Ciao a tutti riuscireste a darmi una mano a risolvere il seguente limite?
$lim_((x,y)->(\pi/2,-\pi/2))((|sin(x-y)|^(a))/|x^2-y^2|)$
al variare di $a$ in $(0,+infty)$
$lim_((x,y)->(\pi/2,-\pi/2))((|sin(x-y)|^(a))/|x^2-y^2|)$
al variare di $a$ in $(0,+infty)$
Risposte
Stavo pensando che, operando i seguenti due cambiamenti di variabile:
$\{(x=u+\pi/2),(y=v-\pi/2):} rarr [lim_((x,y)->(\pi/2,-\pi/2))|sin(x-y)|^(a)/(|x^2-y^2|)=1/\pilim_((u,v)->(0,0))|sin(u-v)|^(a)/(|u+v|)]$
$\{(u=1/2s+1/2t),(v=1/2s-1/2t):} rarr [1/\pilim_((u,v)->(0,0))|sin(u-v)|^(a)/(|u+v|)=1/\pilim_((s,t)->(0,0))|sint|^(a)/(|s|)]$
il limite si riduce a $[1/\pilim_((s,t)->(0,0))|sint|^(a)/(|s|)]$, decisamente più amichevole.
$\{(x=u+\pi/2),(y=v-\pi/2):} rarr [lim_((x,y)->(\pi/2,-\pi/2))|sin(x-y)|^(a)/(|x^2-y^2|)=1/\pilim_((u,v)->(0,0))|sin(u-v)|^(a)/(|u+v|)]$
$\{(u=1/2s+1/2t),(v=1/2s-1/2t):} rarr [1/\pilim_((u,v)->(0,0))|sin(u-v)|^(a)/(|u+v|)=1/\pilim_((s,t)->(0,0))|sint|^(a)/(|s|)]$
il limite si riduce a $[1/\pilim_((s,t)->(0,0))|sint|^(a)/(|s|)]$, decisamente più amichevole.
Ciao innanzi tutto grazie mille per la risposta, per la forma finale a cui sei arrivato come la risolveresti? scusami ma non
ho ancora molta famigliarità con i limiti a due variabili ahahah
ho ancora molta famigliarità con i limiti a due variabili ahahah
Ribattezzando le variabili:
$1/\pilim_((x,y)->(0,0))|siny|^(a)/(|x|)$
Inoltre, per simmetria, ci si può limitare al 1° quadrante. Se si procede restringendosi a una retta:
$[y=mx] ^^ [m gt 0] rarr [1/\pilim_(x->0^+)(sinmx)^(a)/x=1/\pilim_(x->0^+)(m^ax^a+o(x^a))/x]$
Quindi:
$[0 lt a lt 1] rarr [1/\pilim_(x->0^+)(m^ax^a+o(x^a))/x=+oo] rarr$ [Se il limite esiste vale +oo]
$[a=1] rarr [1/\pilim_(x->0^+)(mx+o(x))/x=m] rarr$ [Il limite non esiste]
$[a gt 1] rarr [1/\pilim_(x->0^+)(m^ax^a+o(x^a))/x=0] rarr$ [Se il limite esiste vale 0]
A questo punto, è necessario continuare lo studio almeno nel caso $[a gt 1]$. Per quanto riguarda il caso $[0 lt a lt 1]$, sarebbe meglio sapere esattamente la consegna.
$1/\pilim_((x,y)->(0,0))|siny|^(a)/(|x|)$
Inoltre, per simmetria, ci si può limitare al 1° quadrante. Se si procede restringendosi a una retta:
$[y=mx] ^^ [m gt 0] rarr [1/\pilim_(x->0^+)(sinmx)^(a)/x=1/\pilim_(x->0^+)(m^ax^a+o(x^a))/x]$
Quindi:
$[0 lt a lt 1] rarr [1/\pilim_(x->0^+)(m^ax^a+o(x^a))/x=+oo] rarr$ [Se il limite esiste vale +oo]
$[a=1] rarr [1/\pilim_(x->0^+)(mx+o(x))/x=m] rarr$ [Il limite non esiste]
$[a gt 1] rarr [1/\pilim_(x->0^+)(m^ax^a+o(x^a))/x=0] rarr$ [Se il limite esiste vale 0]
A questo punto, è necessario continuare lo studio almeno nel caso $[a gt 1]$. Per quanto riguarda il caso $[0 lt a lt 1]$, sarebbe meglio sapere esattamente la consegna.
Ti posso chiedere un ultima cosa ? utilizzando la restrizione da te considerata ottengo i possibili valore del limite
ma in particolare nel caso $ a> 1 $ se volessi verificare l esistenza del limite come posso fare?
ma in particolare nel caso $ a> 1 $ se volessi verificare l esistenza del limite come posso fare?
Nel caso in cui $[a gt 1]$, per dimostrare che il limite non esiste pensavo di procedere così. Intanto:
$[AA a gt 1 EE \epsilon gt 0 : 1/a-\epsilon gt 0]$
Quindi, considerare la seguente restrizione:
$[y=x^(1/a-\epsilon)] rarr [1/\pilim_(x->0^+)(sinx^(1/a-\epsilon))^(a)/x=1/\pilim_(x->0^+)(x^(1-a\epsilon)+o(x^(1-a\epsilon)))/x=+oo]$
Insomma, a volte è necessaria un po' di esperienza.
$[AA a gt 1 EE \epsilon gt 0 : 1/a-\epsilon gt 0]$
Quindi, considerare la seguente restrizione:
$[y=x^(1/a-\epsilon)] rarr [1/\pilim_(x->0^+)(sinx^(1/a-\epsilon))^(a)/x=1/\pilim_(x->0^+)(x^(1-a\epsilon)+o(x^(1-a\epsilon)))/x=+oo]$
Insomma, a volte è necessaria un po' di esperienza.
Grazie Mille davvero 
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