Limite con numero di Nepero

[ummo89]

Salve a tutti . . .
sapete dirmi se il mio procedimento è giusto , o se c'è un metodo più veloce ?

$lim_(n->oo) (1-3/(n!+1))^(n!)$

io ho fatto in questo modo :

Ho posto $(n!+1)=t$ , se tende a infinito $n!$ tenderà a infinito anche $t$ , giusto ?

Cosi ho riscritto tutto come :

$lim_(t->oo) (1-3/t)^(t-1)$ $=>$ $lim_(t->oo) e^((log(1-3/t))/(1/(t-1)))$ $=>$ $lim_(t->oo) e^((log((t-3)/t))/(1/(t-1)))$

=> Applico il De L' Hopital:
$lim_(t->oo) e^(((3/(t^2))/((t-3)/t))/((-1/(t-1)^2)))$ $=>$ $lim_(t->oo) e^(-(3/(t(t-3)))(t-1)^2)$

$=>$ $lim_(t->oo) e^(-3(t^2 +1-2t)/(t^2 -3t))$ $=>$ Applico De L'Hopital $=>$ $lim_(t->oo) e^(-3(2t-2)/(2t -3))$
$=>$ Applico De L'Hopital $=>$ $lim_(t->oo) e^(-3(2)/(2))$ $=>$ $e^-3 $

[ummo89]

É possibile dire senza fare i calcoli , che :
$lim_(n->oo) (1+a/n)^(bn) = e^(ab) $ ?

[xdom="dissonance"]Corretto un piccolo errore nel codice della formula (la \(n\) è ora all'esponente).[/xdom]

[dissonance]

Certo. E questa tua ultima osservazione è quella giusta da applicare per risolvere il primo limite, non de l'Hospital che ti fa venir fuori quel casino lì. (Tra l'altro anche a livello teorico usare de l'Hospital per un limite di successione non è proprio corretto, andrebbe prima specificato che si sta passando ad una variabile continua.)

[ummo89]

Grazie mille . . .