Limite con numero di Nepero
Ciao a tutti.
Sto riscontrando problemi nella risoluzione del seguente limite:
$\lim _{n\to \infty} (1-\pi/4+\pi/4*e^(t/n))^n$
Quello che so è che il valore del limite non dipende da t.
Io ho provato a ricondurlo (almeno una parte di esso) al limite notevole $\lim _{n\to \infty} (1+1/(h(x)))^(h(x))=e$ e mi verrebbe come risultato $1$. Tuttavia a me risulta che il risultato sia $\pi/4$
Grazie!
Sto riscontrando problemi nella risoluzione del seguente limite:
$\lim _{n\to \infty} (1-\pi/4+\pi/4*e^(t/n))^n$
Quello che so è che il valore del limite non dipende da t.
Io ho provato a ricondurlo (almeno una parte di esso) al limite notevole $\lim _{n\to \infty} (1+1/(h(x)))^(h(x))=e$ e mi verrebbe come risultato $1$. Tuttavia a me risulta che il risultato sia $\pi/4$
Grazie!
Risposte
Ciao, non sono tanto d'accordo con le tue valutazioni. Cosa ne pensi di questo:
\[\displaystyle \left[1-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}e^{\frac{t}{n}}\right]^n=\exp\left[n\log\left(1-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}e^{\frac{t}{n}}\right)\right]\sim\exp\left[n\left(\frac{\pi}{4}e^{\frac{t}{n}}-\frac{\pi}{4}\right)\right]\sim\\
\sim\exp\left[n\left(\frac{\pi}{4}\left(1+\frac{t}{n}\right)-\frac{\pi}{4}\right)\right]=e^{\frac{t\pi}{4}} \]
\[\displaystyle \left[1-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}e^{\frac{t}{n}}\right]^n=\exp\left[n\log\left(1-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}e^{\frac{t}{n}}\right)\right]\sim\exp\left[n\left(\frac{\pi}{4}e^{\frac{t}{n}}-\frac{\pi}{4}\right)\right]\sim\\
\sim\exp\left[n\left(\frac{\pi}{4}\left(1+\frac{t}{n}\right)-\frac{\pi}{4}\right)\right]=e^{\frac{t\pi}{4}} \]
Ti ringrazio moltissimo. In effetti avevo sbagliato qualche valutazione sul risultato, poichè il limite è inserito in un problema di statistica e non avevo ben valutato ciò che mi doveva risultare per non avere contraddizioni all'interno del problema.
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