Limite con n! (fattoriale)

ummo89
Sapete spiegarmi come risolvere questo limite ?

$ lim_ (n->oo) (n! sin^4(1/n)+2 n^7)/(n! (e^(1/n^2)+2 cos(1/n)-3)+3 n^7) $

Se non ci fosse stato il fattoriale avrei usato Taylor ponendo $ t=1/n $ e facendo il limite con $ t->0 $

Oppure posso usare l'Hopital . . . ma la derivata di n! qual'è ?

Risposte
ciampax
Puoi usare comunque Taylor (in realtà il confronto locale) ponendo [tex]$\sin^4\frac{1}{n}\sim\frac{1}{n^4},\ e^{1/n^2}\sim 1+\frac{1}{n^2},\ \cos\frac{1}{n}\sim1-\frac{1}{2n^2}$[/tex] e poi ragionare un po' su come scrivere il rapporto.

ummo89
"ciampax":
Puoi usare comunque Taylor (in realtà il confronto locale) ponendo [tex]$\sin^4\frac{1}{n}\sim\frac{1}{n^4},\ e^{1/n^2}\sim 1+\frac{1}{n^2},\ \cos\frac{1}{n}\sim1-\frac{1}{2n^2}$[/tex] e poi ragionare un po' su come scrivere il rapporto.



Grazie per avermi risposto , c'avevo gia provato . . . ma avevo fatto male i calcoli . . . ora credo che mi venga bene. . . è diventato cosi :

$ (((n!)/n^4) +2n^7)/(3n^7) $ e quindi va a infinito

ciampax
Mmmmm... secondo te tra $n!$ e $n^\alpha,\ \alpha>0$ chi è un infinito maggiore?

ummo89
"ciampax":
Mmmmm... secondo te tra $n!$ e $n^\alpha,\ \alpha>0$ chi è un infinito maggiore?



sinceramente credevo che il rapposto $(n!)/(n^4)$ facesse 0 , ma facendo una prova su http://www.wolframalpha.com , mi dice va a infinito e che invece va a 0 $ (n^4)/(n!) $

ciampax
Ecco, allora ragiona su cosa devi fare.

ummo89
"ciampax":
Ecco, allora ragiona su cosa devi fare.

applico Hopital , perchè è una forma $ oo/oo $ :D

ummo89
ma come si deriva il fattoriale ? Cioè, come mi diventa $ (n!)/(n^4) $ ?

ciampax
De l'Hopital per il fattoriale? Non farti sentire da altri, se no ti cacciano! :-D
Basta ragionare per infiniti di ordine maggiore. E per prima cosa, riscrivi meglio quello che ottieni, apportando delle semplificazioni. A denomiatore avei fatto sparire un fattoriale... che invece deve rimanere lì dov'è!

ummo89
"ciampax":
De l'Hopital per il fattoriale? Non farti sentire da altri, se no ti cacciano! :-D
Basta ragionare per infiniti di ordine maggiore. E per prima cosa, riscrivi meglio quello che ottieni, apportando delle semplificazioni. A denomiatore avei fatto sparire un fattoriale... che invece deve rimanere lì dov'è!


al denominatore il fattoriale mi sparisce perchè facendo Taylor mi diventa :
$ (n!(1+(1/n^2)+2-(1/n^2)-3)+3n^7) $

cioè mi diventa $ n! $ che moltiplica per $ 0 $ , tutto sommato a $3n^7$

ummo89
alla fine posso dividere il limite nella somma di due limiti , la seconda parte fà 2/3 , ma la prima parte a me viene infinito . . . tu invece mi vuoi far capire che la prima parte va a 0 giusto ???

ciampax
Se la roba tra parentesi va a zero, significa che ti servono altri termini: $e^{1/n^2}\sim 1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2n^4},\ \cos\frac{1}{n}\sim 1-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{24n^4}$. Non puoi sostituire una funzione non nulla con zero!

ummo89
"ciampax":
Se la roba tra parentesi va a zero, significa che ti servono altri termini: $e^{1/n^2}\sim 1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2n^4},\ \cos\frac{1}{n}\sim 1-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{24n^4}$. Non puoi sostituire una funzione non nulla con zero!


Ok ora provo . . .

ummo89
ora mi viene ! ! !
Viene $ 12/7 $! ! !
Grazie per i consigli ! ! !

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.