Limite con McLaurin
Buonasera, vi porto un limite tratto da un esame. Forse troppo semplice, oppure sono io ad aver sbagliato qualcosa.. Si tratta di:
$lim_(x-> 0) (e^(ax^2) - cosx + log^2(1+ x))/(x^3 + x^5logx)$
Bisogna verificare il valore del limite al variare di $a$.
Comincio con le sostituzioni:
$e^(ax^2) = 1 + ax^2$
$log^2(1 + x) = x^2 - x^3$
$cosx = 1 - x^2/2$
Ottengo:
$lim_(x-> 0) (1 + ax^2 - 1 + x^2/2 + x^2 - x^3)/(x^3 + x^5logx)$ che ri duce a: $lim_(x-> 0) (x^2(3/2 + a))/(x^3 + x^5logx)$
quindi scrivo che il limite vale zero per $(3/2 + a) = 0$ e vale più infinito per $a!= -3/2$
è finito qui l' esercizio ?
Grazie a tutti..
$lim_(x-> 0) (e^(ax^2) - cosx + log^2(1+ x))/(x^3 + x^5logx)$
Bisogna verificare il valore del limite al variare di $a$.
Comincio con le sostituzioni:
$e^(ax^2) = 1 + ax^2$
$log^2(1 + x) = x^2 - x^3$
$cosx = 1 - x^2/2$
Ottengo:
$lim_(x-> 0) (1 + ax^2 - 1 + x^2/2 + x^2 - x^3)/(x^3 + x^5logx)$ che ri duce a: $lim_(x-> 0) (x^2(3/2 + a))/(x^3 + x^5logx)$
quindi scrivo che il limite vale zero per $(3/2 + a) = 0$ e vale più infinito per $a!= -3/2$
è finito qui l' esercizio ?
Grazie a tutti..
Risposte
se x tende a infinito non puoi usare gli sviluppi di mclaurin, perchè non ti trovi in un intorno di 0
"enr87":
se x tende a infinito non puoi usare gli sviluppi di mclaurin, perchè non ti trovi in un intorno di 0
Ho sbagliato, volevo scrivere zero, ma pensavo ad altro..
ora correggo..
allora ti ricordo alcune regole delle potenze:
1) $e^{ax^2} = (e^{x^2})^a $
2)$log^2(1+x) = (log(1+x))^2
e non dimenticare di segnarti gli o-piccolo quando fai gli sviluppi
1) $e^{ax^2} = (e^{x^2})^a $
2)$log^2(1+x) = (log(1+x))^2
e non dimenticare di segnarti gli o-piccolo quando fai gli sviluppi
"enr87":
allora ti ricordo alcune regole delle potenze:
1) $e^{ax^2} = (e^{x^2})^a $
2)$log^2(1+x) = (log(1+x))^2
e non dimenticare di segnarti gli o-piccolo quando fai gli sviluppi
Per quanto riguarda il logaritmo avevo appliato in maniera corretta la proprietà, mentre per l' esponenziale non avevo minimamente considerato quella cosa..
quindi verrebeb una cosa del tipo:
$(e^(x^2))^a = (1 + x^2)^a$ e considerando solo i termini di grado maggiore, potrei scrivere, $1 + x^(2a)$ giusto ?
$(log(1+x))^2 = (x - 1/2x^2 + o(x^2))^2$ questo è giusto.
non è corretto nemmeno l'altro.. io non starei a sviluppare quella potenza, ma cercherei altre vie per discutere. ti ripeto che devi segnarti gli o-piccolo, altrimenti fai casino con gli infinitesimi che devi considerare o meno
non è corretto nemmeno l'altro.. io non starei a sviluppare quella potenza, ma cercherei altre vie per discutere. ti ripeto che devi segnarti gli o-piccolo, altrimenti fai casino con gli infinitesimi che devi considerare o meno
Non capisco cosa non sto capendo..
Allora se ho:
$log(1 + x)^2 = (x -1/2x^2 + o(x^2))^2$ che diventerà: $x^2 - x^3 + x^4/4 + o(x^4)$
Riguardo all' esponenziale cosa c'è che non va ?
Allora se ho:
$log(1 + x)^2 = (x -1/2x^2 + o(x^2))^2$ che diventerà: $x^2 - x^3 + x^4/4 + o(x^4)$
Riguardo all' esponenziale cosa c'è che non va ?
prova a calcolarti bene il quadrato di quel trinomio, dovresti accorgerti che qualcosa non va
"enr87":
prova a calcolarti bene il quadrato di quel trinomio, dovresti accorgerti che qualcosa non va
In effetti qualcosa non mi torna, mi è venuto (per il logaritmo): $x^2 + x^4/4 - x^3 + x^2(x^2) + xo(x^2) + xo(x^2)$
non capisco cosa ci faccia quel $o(x^3)$ alla fine, ma non mi pare sia importante per il calcolo per limite, anche perchè al limite elimino il terine in $x^4$..
lo sviluppo corretto è $(log(1+x))^2 = x^2 - x^3 + o(x^3) $ ..fai attenzione, perchè c'è una differenza fondamentale con quello che hai scritto tu, anche se è mascherata da o(x^3).
prima ho provato a svolgere il limite, e sinceramente non l'ho trovato molto facile per cui può essere che il risultato non sia corretto. ti do solo qualche suggerimento, sarebbe un po' lungo scrivere tutto. ti faccio notare inoltre che il limite esiste solo nell'intorno destro di 0.
$lim_(x-> 0) (e^(ax^2) - cosx + log^2(1+ x))/(x^3 + x^5logx)$
notando che x^5*log(x) = o(x^4) = o(x^3), puoi scrivere:
$lim_(x-> 0) ((1+x^2+o(x^3))^a - (1-x^2/2 + o(x^3)) + x^2 - x^3 + o(x^3))/(x^3 + o(x^3)$
facendo le opportune semplificazioni algebriche, possiamo considerare il caso per a > 0 prima:
$lim_(x-> 0) ((1+x^2+o(x^3))^a - 1+3/2x^2 - x^3 + o(x^3))/(x^3 + o(x^3)$
ora puoi notare che $(1+x^2+o(x^3))^a - 1$ è sempre maggiore di 0, x^3 è infinitesimo di x^2, e dunque il limite va a + infinito per qualunque a maggiore di 0. stessa cosa vale per a = 0.
per a < 0 la storia è più complicata: devi determinare l'ordine di infinitesimo di $ (1+x^2+o(x^3))^a - 1 $ rispetto a $ 3/2x^2 - x^3 $, per capire se il numeratore è positivo o negativo. sfrutti allora l'hopital. se i miei calcoli sono corretti, dovresti trovare che per a < -1 il limite va a - infinito, perchè $ 3/2x^2 - x^3 $ è infinitesimo rispetto a $ (1+x^2+o(x^3))^a - 1 $. al contrario, per a compreso tra -1 e 0 (estremi esclusi) dovrebbe ancora andare a + infinito. per a = -1 prova invece a calcolarlo esplicitamente
prima ho provato a svolgere il limite, e sinceramente non l'ho trovato molto facile per cui può essere che il risultato non sia corretto. ti do solo qualche suggerimento, sarebbe un po' lungo scrivere tutto. ti faccio notare inoltre che il limite esiste solo nell'intorno destro di 0.
$lim_(x-> 0) (e^(ax^2) - cosx + log^2(1+ x))/(x^3 + x^5logx)$
notando che x^5*log(x) = o(x^4) = o(x^3), puoi scrivere:
$lim_(x-> 0) ((1+x^2+o(x^3))^a - (1-x^2/2 + o(x^3)) + x^2 - x^3 + o(x^3))/(x^3 + o(x^3)$
facendo le opportune semplificazioni algebriche, possiamo considerare il caso per a > 0 prima:
$lim_(x-> 0) ((1+x^2+o(x^3))^a - 1+3/2x^2 - x^3 + o(x^3))/(x^3 + o(x^3)$
ora puoi notare che $(1+x^2+o(x^3))^a - 1$ è sempre maggiore di 0, x^3 è infinitesimo di x^2, e dunque il limite va a + infinito per qualunque a maggiore di 0. stessa cosa vale per a = 0.
per a < 0 la storia è più complicata: devi determinare l'ordine di infinitesimo di $ (1+x^2+o(x^3))^a - 1 $ rispetto a $ 3/2x^2 - x^3 $, per capire se il numeratore è positivo o negativo. sfrutti allora l'hopital. se i miei calcoli sono corretti, dovresti trovare che per a < -1 il limite va a - infinito, perchè $ 3/2x^2 - x^3 $ è infinitesimo rispetto a $ (1+x^2+o(x^3))^a - 1 $. al contrario, per a compreso tra -1 e 0 (estremi esclusi) dovrebbe ancora andare a + infinito. per a = -1 prova invece a calcolarlo esplicitamente
mmh si ora ho capito perchè era sbagliato lo sviluppo dell' esponenziale.
Comunque ho ancora qualche domanda:
1) inizialmente avevo supposto che il limite era zero per $a = -3/2$ perchè di fatto per quel valore di $a$. il numeratore è zero, non tendente a zero. è sbagliato questo ragionamento ?
Poi ho verificato che effettivamente per qualunque $a > 0$, al numeratore il grado minimo di x rimane 2, quindi il limite va a più infinito.
2) Ma per i valori negativi, non ho capito come hai applicato Hopital.
Comunque ho ancora qualche domanda:
1) inizialmente avevo supposto che il limite era zero per $a = -3/2$ perchè di fatto per quel valore di $a$. il numeratore è zero, non tendente a zero. è sbagliato questo ragionamento ?
Poi ho verificato che effettivamente per qualunque $a > 0$, al numeratore il grado minimo di x rimane 2, quindi il limite va a più infinito.
2) Ma per i valori negativi, non ho capito come hai applicato Hopital.
1) prova a scrivere il procedimento che ti porta ad affermare ciò.. a me non sembra giusto, però potrei sbagliarmi
2) applico l'hopital alle due funzioni del numeratore per capire quale è infinitesima di ordine maggiore, perchè poi puoi applicare il principio di sostituzione e quindi semplificare il limite (eventualmente ti scrivo domani i passaggi)
2) applico l'hopital alle due funzioni del numeratore per capire quale è infinitesima di ordine maggiore, perchè poi puoi applicare il principio di sostituzione e quindi semplificare il limite (eventualmente ti scrivo domani i passaggi)
"enr87":
1) prova a scrivere il procedimento che ti porta ad affermare ciò.. a me non sembra giusto, però potrei sbagliarmi
2) applico l'hopital alle due funzioni del numeratore per capire quale è infinitesima di ordine maggiore, perchè poi puoi applicare il principio di sostituzione e quindi semplificare il limite (eventualmente ti scrivo domani i passaggi)
Il passaggio che mi fa affermare la prima cosa, è che, come scritto nel primo messaggio, se ho $x^2(3/2 + a)$ questo fa zero per un certo valore di $a$, quindi essendo uno zero "esatto", il limite fa zero, indipendentemente dal grado dei polinomi che gli stanno attorno. Ma questa è solo una intuizione, e qualche vago ricordo..
intanto ti rispondo alla prima: nel primo messaggio avevi sbagliato lo sviluppo.. se provi sul mio non esce 0 per quel valore di a
"enr87":
intanto ti rispondo alla prima: nel primo messaggio avevi sbagliato lo sviluppo.. se provi sul mio non esce 0 per quel valore di a
ah no giusto.. perchè stavo ancora pensando allo sviluppo sbagliato mio dell' esponenziale..
quindi quel valori di $a$ non c' entra nulla..
"enr87":
lo sviluppo corretto è $(log(1+x))^2 = x^2 - x^3 + o(x^3) $ ..fai attenzione, perchè c'è una differenza fondamentale con quello che hai scritto tu, anche se è mascherata da o(x^3).
prima ho provato a svolgere il limite, e sinceramente non l'ho trovato molto facile per cui può essere che il risultato non sia corretto. ti do solo qualche suggerimento, sarebbe un po' lungo scrivere tutto. ti faccio notare inoltre che il limite esiste solo nell'intorno destro di 0.
$lim_(x-> 0) (e^(ax^2) - cosx + log^2(1+ x))/(x^3 + x^5logx)$
notando che x^5*log(x) = o(x^4) = o(x^3), puoi scrivere:
$lim_(x-> 0) ((1+x^2+o(x^3))^a - (1-x^2/2 + o(x^3)) + x^2 - x^3 + o(x^3))/(x^3 + o(x^3)$
facendo le opportune semplificazioni algebriche, possiamo considerare il caso per a > 0 prima:
$lim_(x-> 0) ((1+x^2+o(x^3))^a - 1+3/2x^2 - x^3 + o(x^3))/(x^3 + o(x^3)$
ora puoi notare che $(1+x^2+o(x^3))^a - 1$ è sempre maggiore di 0, x^3 è infinitesimo di x^2, e dunque il limite va a + infinito per qualunque a maggiore di 0. stessa cosa vale per a = 0.
per a < 0 la storia è più complicata: devi determinare l'ordine di infinitesimo di $ (1+x^2+o(x^3))^a - 1 $ rispetto a $ 3/2x^2 - x^3 $, per capire se il numeratore è positivo o negativo. sfrutti allora l'hopital. se i miei calcoli sono corretti, dovresti trovare che per a < -1 il limite va a - infinito, perchè $ 3/2x^2 - x^3 $ è infinitesimo rispetto a $ (1+x^2+o(x^3))^a - 1 $. al contrario, per a compreso tra -1 e 0 (estremi esclusi) dovrebbe ancora andare a + infinito. per a = -1 prova invece a calcolarlo esplicitamente
finisco di spiegarti.
non so se hai studiato il principio di sostituzione, ma in breve dice questo: se hai un limite $lim_{x to x_0} (f(x) + g(x))/(h(x)) = l $ e g(x) è infinitesimo rispetto a f(x), allora puoi anche scrivere $lim_{x to x_0} (f(x) + o(f(x)))/(h(x)) = lim_{x to x_0} (f(x))/(h(x)) = l $.
nel tuo caso, poni $ g(x) = 3/2x^2-x^3$ e $f(x) = (1+x^2+o(x^3))^a - 1$: se verifichi che g(x) è infinitesimo rispetto a f(x), allora puoi applicare il principio di sostituzione e determinare il valore del limite. provaci (applicando l'hopital)
ah non c' avevo mai pensato ad applicarlo così.. cmq ho risolto.. anzi il professore ha messo le soluzioni in internet. Morale della storia, l' esponenziale si sviluppava come ho fatto io..XD
In effetti ora anche intuitivo, bastava farsi a mano lo sviluppo di taylor per togliersi ogni dubbio..
In effetti ora anche intuitivo, bastava farsi a mano lo sviluppo di taylor per togliersi ogni dubbio..
"enr87":
g(x) è infinitesimo rispetto a f(x), ...
"enr87":
...se verifichi che g(x) è infinitesimo rispetto a f(x)
"enr87", che significato hanno queste espressioni?
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