Limite con maggiorazione
Ciao ragazzi ! Volevo un consiglio su come risovere questo limite con maggiorazione : $ lim_(n -> oo ) (sin^(2) (3+sin(n)))^(n) $ .
Io ho pensato che $ (sin^(2) (3+sin(n)))^(n) > 0 $ $ AA n $ e inoltre $ (sin^(2) (3+sin(n)))^(n) < ((sin)^(2)(45))^(n) $ $ AA n $ .
Visto che $ ((sin)^(2) (45))^(n) $ tende a 0 posso dire per il teorema dei carabinieri che il risultato del limite è 0 ?
Grazie
Io ho pensato che $ (sin^(2) (3+sin(n)))^(n) > 0 $ $ AA n $ e inoltre $ (sin^(2) (3+sin(n)))^(n) < ((sin)^(2)(45))^(n) $ $ AA n $ .
Visto che $ ((sin)^(2) (45))^(n) $ tende a 0 posso dire per il teorema dei carabinieri che il risultato del limite è 0 ?
Grazie
Risposte
E da dove esce quel 45????
Ho messo 45 perchè è sicuramente più grande di 3+sin(n) , avrei potuto mettere qualsiasi altro numero che rendesse la disequazione verificata.
Come sospettavo è tutto sbagliato ...
potreste darmi un consiglio su come risolvere l'esercizio e piu in generale questi limiti con maggiorazione ?
Come sospettavo è tutto sbagliato ...
potreste darmi un consiglio su come risolvere l'esercizio e piu in generale questi limiti con maggiorazione ?
Ma non puoi sostituire numeri come ti pare! 
per prima cosa ricorda che $-1\le\sin(n)\le 1$ per ogni $n\in\mathbb{N}$. Questo implica anche che $2\le 3+\sin(n)\le 4$. Ora attento, però: quando sostituisci i valori $2,\ 4$ in $\sin^2(x)$ devi tenre conto che essi rappresentano angoli espressi in radianti! Dal momento che $\pi/2<2<\pi<4<{3\pi}/2$ i valori di $sin(x)$ sull'intervallo $[2,4]$ sono tali per cui $\sin 4\le \sin x\le \sin 2$ (in quanto $\sin 4<0,\ \sin 2>0$). Dal momento che (come puoi osservare usando la calcolatrice) $|\sin 4|<\sin 2$ allora
[tex]$0<\sin^ 4\le \sin^2[3+\sin(n)]\le\sin^2 2<1$[/tex]
Infine per la tua successione, osserva che
[tex]$0<\sin^{2n} 4\le\left[\sin^2 [3+\sin(n)]\right]^n\le\sin^{2n} 2<1$[/tex]
e quindi per il teorema dei carabinieri il limite è zero (in quanto entrambi gli estremi sono infinitesimi).
per prima cosa ricorda che $-1\le\sin(n)\le 1$ per ogni $n\in\mathbb{N}$. Questo implica anche che $2\le 3+\sin(n)\le 4$. Ora attento, però: quando sostituisci i valori $2,\ 4$ in $\sin^2(x)$ devi tenre conto che essi rappresentano angoli espressi in radianti! Dal momento che $\pi/2<2<\pi<4<{3\pi}/2$ i valori di $sin(x)$ sull'intervallo $[2,4]$ sono tali per cui $\sin 4\le \sin x\le \sin 2$ (in quanto $\sin 4<0,\ \sin 2>0$). Dal momento che (come puoi osservare usando la calcolatrice) $|\sin 4|<\sin 2$ allora[tex]$0<\sin^ 4\le \sin^2[3+\sin(n)]\le\sin^2 2<1$[/tex]
Infine per la tua successione, osserva che
[tex]$0<\sin^{2n} 4\le\left[\sin^2 [3+\sin(n)]\right]^n\le\sin^{2n} 2<1$[/tex]
e quindi per il teorema dei carabinieri il limite è zero (in quanto entrambi gli estremi sono infinitesimi).
Scusa mi è venuto un dubbio....
So che $ sin 4 <= sin(3+sin(n))<=sin2 $ ma come faccio a dire che $ (sin4)^2<=(sin(3+sin(n)))^2<=(sin2)^2 $ , per esempio per $ sin (n)=0 $ la disequazione non è verificata.
Dove mi sono perso ?
So che $ sin 4 <= sin(3+sin(n))<=sin2 $ ma come faccio a dire che $ (sin4)^2<=(sin(3+sin(n)))^2<=(sin2)^2 $ , per esempio per $ sin (n)=0 $ la disequazione non è verificata.
Dove mi sono perso ?
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