Limite con logaritmo

[rossiii1]

Salve a tutti, sono qui per chiedervi una spiegazione del perchè il seguente limite sia uguale a 3.

[@melia]

Ti posto il primo passaggio
$lim_(x->oo) x ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))=lim_(x->oo) ln(e^(x ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))))=lim_(x->oo) ln(e^(ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))))^x=$
$=lim_(x->oo) ln(((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))^x)=lim_(x->oo) ln((1+(3x+2)/(x^2-x+1))^x)$

[otta96]

"@melia":$lim_(x->oo) x ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))=lim_(x->oo) ln(e^(x ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))))=lim_(x->oo) ln(e^(ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))))^x=lim_(x->oo) ln(((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))^x)$

C'era bisogno di fare tutti questi passaggi?

[rossiii1]

"@melia":Ti posto il primo passaggio
$lim_(x->oo) x ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))=lim_(x->oo) ln(e^(x ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))))=lim_(x->oo) ln(e^(ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))))^x=$
$=lim_(x->oo) ln(((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))^x)=lim_(x->oo) ln((1+(3x+2)/(x^2-x+1))^x)$

Vabene è già uno spunto, domani mi ci metto, grazie

[rossiii1]

Scusami quale propietà dei logaritmi hai applicato al primo passaggio? l'argomento del logaritmo è diventato l'esponenziale del logaritmo stesso?

[@melia]

$a= ln(e^a)$

[@melia]

"otta96":[quote="@melia"]$lim_(x->oo) x ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))=lim_(x->oo) ln(e^(x ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))))=lim_(x->oo) ln(e^(ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))))^x=lim_(x->oo) ln(((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))^x)$

C'era bisogno di fare tutti questi passaggi?[/quote]
No. Ma come hai visto, non erano abbastanza!!!

[Luca.Lussardi]

Per concludere ricorda che $log(1+x)$ e' asintotico a $x$ per $x\to 0$.

[rossiii1]

Limite capito e risolto. Grazie a tutti infinitamente! Tral'altro l'unica cosa che non mi riusciva fare da solo era la somma e differenza di 1 ! Le cose più semplici sempre! Per il resto è la stessa strada che intraprendevo io. Grazie ancora.

[Luca.Lussardi]

Suggerimento per la prossima volta: se mandi subito $x\to+\infty$ vedi che l'argomento del logaritmo tende a 1, quindi sicuramente questo argomento e' 1+qualcosa che tende a 0, per il limite notevole del logaritmo tutto e' asintotico a quel qualcosa che tende a 0. Questo e' il ragionamento da ricordare.