Limite con logaritmi

[Shaniv]

Gentilissimi, mi aiutate a risolvere questo limite?

$ lim_{x \to + \infty} {\ln{e^{x^2} + e^{-x^3} + 4} + 3 \ln{x}}/{5x^2 + 7x} $

Riconosco che viene una forma indeterminata ${+\infty}/{+\infty}$ ma non riesco bene a capire come proseguire; forse si può risolvere con l'Hopital, ma dopo qualche derivazione il tutto si complica parecchio... sono convinto esista una via più immediata, che però non riesco a cogliere. Il risultato del limite è $1/5$ .


Vi ringrazio anticipatamente

[francicko]

Per $x->infty $ $log (e^(x^2)+1/e^(x^3)+4)~~log (e^(x^2))=x^2loge=x^2$;
Perché $e^(x^2) $ e' l'infinito che prevale dentro l'argomento del logaritmo.
D'altronde sempre a numeratore $3logx $ e' trascurabile anch'esso come infinito rispetto ad $x^2$, quindi possiamo scrivere:
$lim_(x->infty)x^2/(5x^2+7x)=lim_(x->infty)x^2/(5x^2)=1/5$,
avendo trascurato a denominatore $7x $ che e' come infinito trascurabile rispetto a $5x^2$.