Limite con integrali gaussiani
Buongiorno a tutti,
mi trovo a dover calcolare un limite (preso da un articolo), ma non ho proprio idea di come fare. Il limite e' il seguente
$\lim_{x->0^+} \frac{x \cdot \Phi(f(x))}{x \cdot \Phi(f(x))-b \cdot \Phi(g(x))}$
con $x>0$ e dove $\Phi(x)=\int_{-oo}^x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-t^2/2} dt$ (funzione di ripartizione di una gaussiana standard) e $f$ e $g$ sono date da
$f(x)=\frac{\ln \frac{x}{b} +A}{C} \qquad g(x)=\frac{\ln \frac{x}{b} +B}{C} $
e tutti i parametri ($b, A, B, C$) sono positivi (ma questo mi sembra poco rilevante per il calcolo del limite) con $Bg(x) \forall x$ e $\Phi(f(x))>\Phi(g(x)) \forall x$.
E' evidente che
$\lim_{x-> 0^+} \Phi(f(x))= \lim_{x-> 0^+} \Phi(g(x))=0$.
Nell'articolo viene detto di applicale de l'Hospital piu' volte per provare che il limite e' $+oo$ (ho provato ma mi sembra che l'utilizzo di de l'Hopital complichi solo molto le cose). Io, non riuscendolo a risolverlo a mano ho usato un programma che come risultato fornisce $0$.
Suggerimenti? Idee?
Grazie
mi trovo a dover calcolare un limite (preso da un articolo), ma non ho proprio idea di come fare. Il limite e' il seguente
$\lim_{x->0^+} \frac{x \cdot \Phi(f(x))}{x \cdot \Phi(f(x))-b \cdot \Phi(g(x))}$
con $x>0$ e dove $\Phi(x)=\int_{-oo}^x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-t^2/2} dt$ (funzione di ripartizione di una gaussiana standard) e $f$ e $g$ sono date da
$f(x)=\frac{\ln \frac{x}{b} +A}{C} \qquad g(x)=\frac{\ln \frac{x}{b} +B}{C} $
e tutti i parametri ($b, A, B, C$) sono positivi (ma questo mi sembra poco rilevante per il calcolo del limite) con $B
E' evidente che
$\lim_{x-> 0^+} \Phi(f(x))= \lim_{x-> 0^+} \Phi(g(x))=0$.
Nell'articolo viene detto di applicale de l'Hospital piu' volte per provare che il limite e' $+oo$ (ho provato ma mi sembra che l'utilizzo di de l'Hopital complichi solo molto le cose). Io, non riuscendolo a risolverlo a mano ho usato un programma che come risultato fornisce $0$.
Suggerimenti? Idee?
Grazie
Risposte
Con un po' di fatica sono riuscito a provare che
$\lim_{x->0^+} \frac{\Phi(f(x))}{x}=\lim_{x->0^+} \frac{\Phi(g(x))}{x}=0$
ossia $\Phi(f(x)) \in o(x)$ e $\Phi(g(x)) \in o(x)$. Ho anche la sicurezza che il limite deve fare $+oo$....
Posso utilizzare in qualche modo le proprieta' degli o-piccolo per provarlo?
$\lim_{x->0^+} \frac{\Phi(f(x))}{x}=\lim_{x->0^+} \frac{\Phi(g(x))}{x}=0$
ossia $\Phi(f(x)) \in o(x)$ e $\Phi(g(x)) \in o(x)$. Ho anche la sicurezza che il limite deve fare $+oo$....
Posso utilizzare in qualche modo le proprieta' degli o-piccolo per provarlo?
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