Limite con integrale

[booster180]

ciao a tutti
non riesco a sviluppare questo limite
$\lim_{x \to \0}1/(2x) int_{0}^{2x} arctan(1/t) dt$

ho provato a sostituire:
$arctan(1/t)=x$ da cui $dt=1/tanx$
ma mi complico la vita nel calcolare il dt che diventa:$dt= d (1/tanx))$

ho provato anche a fare altre tipologie di sostituzione ma non riesco ad arrivarne a capo

[Sk_Anonymous]

Piuttosto io userei il Teorema della media integrale: esso ti garantisce che \(\displaystyle \exists \ \xi \in [0,2x] \) t.c. \[\displaystyle \int^{2x}_{0} \arctan \left( \frac{1}{t} \right) \, dt = 2x \cdot \arctan (1/\xi) \] se \(\displaystyle x \to 0 \) allora \(\displaystyle \xi \to 0 \) per il Teorema del confronto, quindi \[\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{2x} \int^{2x}_{0} \arctan \left( \frac{1}{t} \right) \, dt= \lim_{x \to 0} \frac{2x \arctan (1/\xi)}{2x}=\frac{\pi}{2} \]

[Noisemaker]

Oppure sfruttare il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di De L'Hopital:

\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{1}{2x} \int^{2x}_{0} \arctan \left( \frac{1}{t} \right) \, dt=\lim_{x \to 0}\frac{\int^{2x}_{0}\arctan \left( \frac{1}{t} \right) \, dt}{2x}
\end{align*}

poniamo $F(x)$ una qualsiasi primitiva di $\int \arctan ( \frac{1}{t} ) \, dt,$ allora in base al teorema fondamentale del calcolo integrale, avremo

\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{1}{2x} \int^{2x}_{0} \arctan \left( \frac{1}{t} \right) \, dt=\lim_{x \to 0}\frac{\int^{2x}_{0}\arctan \left( \frac{1}{t} \right) \, dt}{2x}=\lim_{x \to 0}\frac{F(2x)-F(0)}{2x}
\end{align*}

a questo punto siamo difronte ad una forma indeterminata $0/0$ (Perchè??) e quindi possiamo applicare De L'Hopital:

\begin{align*}
\lim_{x \to 0}\frac{F(2x)-F(0)}{2x}&\stackrel{\bf(H)}{=} \lim_{x \to 0}\frac{2F'(2x)-0}{2 } =\lim_{x \to 0}\ F'(2x) \\
&= \lim_{x \to 0} \arctan \left( \frac{1}{2x} \right) =\frac{\pi}{2}
\end{align*}

[Noisemaker]

te ne propongo un altro simile, con la soluzione in spoiler, e un paio senza soluzione ...nel caso poi tu abbia difficoltà siamo qua (taratattà!! )

Calcolare il limite:
\begin{align*}\lim_{x \to 0} \frac{5\cdot\displaystyle \int_{0}^{x}\left(e^{-t^2}-\cos^2t\right)\,\,dx}{x^5} \end{align*}

Soluzione

La funzione $f(x)=e^{-t^2}-\cos^2t:$
è continua in tutto $\mathbb{R}$, quindi anche in un intorno di $0,$ visto dobbiamo valutare il limite quando $x \to 0.$ Sia allora $F(x)$ una generica primitiva di $f(x);$ evidentemente, quando $x \to 0$ il numeratore del limite tende a zero ed anche il denominatore tende zero, e dunque siamo in presenza di una forma inderminata $\frac{0}{0};$ per risolvere il limite allora possiamo applicare De L'Hospital. Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale
\begin{align*}
&\lim_{x \to 0} \frac{5\cdot\displaystyle \int_{0}^{x}\left(e^{-t^2}-\cos^2t\right)\,\,dx}{x^5} \stackrel{\bf(TFI)}{=}\lim_{x \to 0}5\cdot \frac{F(x)-F(0)}{x^5}\\
&\stackrel{ \bf(H)}{=}\lim_{x \to 0}5\cdot \frac{F'(x)-0}{5x^4}=\lim_{x \to 0} \frac{e^{-x^2}-\cos^2x}{ x^4}\\
&\stackrel{ \bf(T)}{=}\lim_{x \to 0}\frac{1-x^2+\frac{x^4}{2}-\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\right)^2}{x^4}\\
&=\lim_{x \to 0}\frac{1-x^2+\frac{x^4}{2}-\left(1+\frac{x^4}{4}-x^2+\frac{x^4}{12}+o(x^4)\right) }{x^4}\\
&=\lim_{x \to 0}\frac{1-x^2+\frac{x^4}{2}- 1-\frac{x^4}{4}+x^2-\frac{x^4}{12}+o(x^4)}{x^4}\\
&=\lim_{x \to 0}\frac{ \frac{2}{12}x^4}{x^4}=\frac{1}{6}
\end{align*}

[Ex] 1.

Calcolare il limite:
\begin{align*}\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_{0}^{x^2}\arcsin 3t\,\,dt \end{align*}

[Ex] 2.

Calcolare il limite:
\begin{align*}\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \int_{x}^{x^2}\sin^2(2t) \,\,dt \end{align*}

[booster180]

noisemaker con la spiegazione che mi hai dato ho capito benissimo

gia che ci sono ho provato a fare anche gli esercizi che mi hai messo ma ho un dubbio sullo sviluppo di taylor per il coseno,
non riesco a capire il perche di quello sviluppo

[Noisemaker]

forse perchè è un $\cos^2$?

[booster180]

ma $(x^4)/24$ nel quart ultimo passaggio, appena hai applicato taylor... da dove viene fuori?
cioe non capisco perche il denominatore è 24 e non 4

[Noisemaker]

è lo sviluppo del coseno

\begin{align*}
\cos x\sim 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)
\end{align*}

[booster180]

tra cosa?
non riesco proprio a capire

[Noisemaker]

ho modificato il messaggio, avevo fatto riferimento alla riga successiva, quando si sviluppa il quadrato del trinomio e li si fanno i doppi prodotti; tu forse non ricordi bene lo sviluppo del coseno