Limite con Hopital

[stars123]

Volendo risolvere questo limite con Hopital posso anche non tener conto della radice? $ lim_(x ->1)sqrt((ln x)/ (x-1) ) $ (cioè scrivo direttamente la derivata del ln fratto la derivata di x-1). Ho provato a fare la derivata considerando anche la radice ma non giungo mai alla soluzione! spero di essere stata chiara

[Sk_Anonymous]

$lim x->1$ $(1/(2sqrt(x)))*(1/x)$=$lim x->1$ $1/(2x^(3/2))=1/2$.
Della radice devi tenerne conto eccome, in matematica non si butta nulla

[francescop21]

intendi dire: $lim_{x -> 1) {\sqrt {ln x}}/{x-1}$ applico de l'Hopital e diventa $lim_{x -> 1) 1/x$??

perché mi sembra sbagliato

[stars123]

Non capisco come l'hai fatto

[Sk_Anonymous]

Derivata del numeratore fratto derivata del denominatore. La derivata del numeratore è $1/(2sqrt(x))*(1/x)$ e la derivata del denominatore è $1$.

EDIT: scusate, mi sono accorto di aver fatto un casino!

[stars123]

"francescop21":intendi dire: $lim_{x -> 1) {\sqrt {ln x}}/{x-1}$ applico de l'Hopital e diventa $lim_{x -> 1) 1/x$??

perché mi sembra sbagliato

Proprio così! Il mio prof così l'ha risolto, ma a me non convince

[Sk_Anonymous]

Scusa, sto un pò fuso, ho sbagliato, la derivata del numeratore è $(1/(2sqrt(lnx)))*(1/x)$, quindi il limite è $+oo$.

[stars123]

ah ecco!

[stars123]

ah, no!! se vedete bene la radice comprende tutta la funzione

[@melia]

Non sono d'accordo con gli amici che mi hanno preceduto, credo che soprattutto francescop21 abbia anche dei problemi a visualizzare la formula (tutto l'argomento del limite è sotto radice), ma forse anche Soscia riscontra questo problema.
La radice quadrata è una funzione continua nel suo dominio, quindi $lim_(x->1)sqrt(f(x))=sqrt(lim_(x->1) f(x))$
Nell'esercizio quindi puoi risolvere il limite senza la radice e poi calcolare la radice del risultato. È chiaro che il calcolo del limite del radicando $ lim_(x->1)lnx/(x-1)$ può essere fatto con L'Hospital.
Riassumendo $lim_(x->1)sqrt(lnx/(x-1))=sqrt(lim_(x->1) lnx/(x-1))$

[stars123]

Perfetto e chiarissimo! Grazie mille

[francescop21]

scusate avevo letto $lim_(x -> 1) {sqrt {ln x}}/{x-1}$

allora sì è come dice @melia